Mathematik-Schule online

Schüler dürften Wolfram|Alpha (Kurz: W|A) bald ebenso selbstverständlich ansteuern wie bislang schon Google oder die Wikipedia.
Die “rechnende Wissensmaschine” Wolfram|Alpha beweist gerade für Mathematik Qualitäten, die Google derzeit noch abgehen - obwohl der unscheinbare Suchschlitz des Internetriesen durchaus auch als Taschenrechner nutzbar ist.
Wolfram|Alpha leistet aber weit mehr. Kein Wunder, der Dienst basiert auf dem mächtigen Computer Algebra System Mathematica des britischen Wissenschaftlers Stephen Wolfram. (Womit sich auch die Namensgebung erklärt).
Das Schöne ist: Mathematica kostet Geld, WolframAlpha kostet nichts. Eine “Visual gallery of Examples” demonstriert viele Einsatzmöglichkeiten in verschiedensten Disziplinen.
Die Liste von Beispielen für den Einsatz in Mathematik beginnt mit elementaren Rechnungen und führt bis hin zu Zahlentheorie, Diskreter Mathematik und Vektoranalysis.
Englisch sollte man zumindest einigermaßen beherrschen, auf eine deutsche Sprachversion wird man möglicherweise noch lange Zeit warten müssen.

Wenn in wenigen Jahren eine mobile Internet-Flatrate und Smartphones so verbreitet sind wie heute schon PCs, Notebooks und DSL, wird das dafür bestens kompatible WolframAlpha auch in Schulen allgegenwärtig sein.
Wohl auch überall dort, wo das Spicken angesagt ist.

Richard MacManus sah schon vor wenigen Wochen im ReadWriteWeb als Einsatzszenario Nummer 1 für WolframAlpha den Use Case: Education.

Dabei verweist auch er auf einen von Lehrern befürchteten Effekt:

>Encouraging cheating and laziness in students. This is because Wolfram|Alpha not only solves complex math problems, it “also can spell out the steps leading to those solutions.”<

Stephen Wolfram beharrt darauf, dass Computeralgebrasysteme (CAS) Lernprozesse letztlich befördern werden: “because they allow students to explore complex problems on their own and intuitively determine how functions work.”

Ausführlicher nahm sich Jeffrey R. Young dieses Themas im Juni 2009 an: “Calculating Web Site Could Ignite a New Campus ‘Math War“.
Neben Wolfram|Alpha würden selbst moderne Schul- und Grafikrechner aussehen wie Rechenschieber. Mit dem leicht zugänglichen CAS werde für den Mathematikunterricht eine Büchse der Pandora geöffnet.

Auch Maria H. Andersen beschäftigt sich auf ihrem fabelhaften Blog “Teaching College Math” intensiv mit den Auswirkungen von Wolfram|Alpha auf den Mathematikunterricht.
Da lohnt ein längeres Zitat:

>Because W|A is free and similar to other technologies they know how to use (designed like a search engine), it has relative advantage over other CAS technologies. With prior CAS technologies, you had to know exactly what series of steps or commands to write in order to extract the outcome you desired, but with W|A, the less you ask for, the more you get out. W|A just assumes you want all relevant information it can generate. W|A is easily trialable - anyone with Internet access can try it. Not only that, but observability is also high - simply use a hyperlink to share what you’re doing in W|A with others. Compound this ease of observability with the incredible connectedness of the student population in the U.S. (Facebook, MySpace, etc.), and you can see why I don’t think it will take long for W|A to spread to the undergraduate population of math students.<

Zuletzt noch ein Hinweis auf das auch von Andersen mitbetriebene Walpha Wiki: Teaching Undergraduate Math with Wolfram|Alpha. Interessant sind hier vor allem die Artikel zu Analysis (Calculus) und Linearer Algebra.

Wenn in den Schulen Sudoku heute unter allen (geistreichen) Fremdbeschäftigungen die beliebteste ist, so war das in den 80er Jahren die flinke Artistik mit Erno Rubiks Zauberwürfel.
Wie bei Sudoku gibt es auch bei Rubik’s Cube einen mathematischen Background. Besser gesagt: Ein mathematisches Modell, aus dem konkrete Lösungsstrategien ableitbar sind.
Der Würfel wird - da wird es sehr abstrakt - als (mathematische) “Gruppe” aufgefasst und somit via Gruppentheorie analysierbar.
Kein Wunder also, dass eine Lösung so auch programmierbar wird.
Hans Andersson ist es nun sogar gelungen, mit Lego-Teilen ! (Lego Mindstorms NXT) einen Roboter zu basteln, der einen beliebig verdrehten Zauberwürfel automatisch in den Ursprungszustand zurückversetzt.
Der Roboter heißt “Tilted Twister“. Er tastet den Würfel zunächst mit einem Sensor ab (Zeitdauer: ungefähr eine Minute), berechnet anschließend die Lösung (das dauert ca. 30 Sekunden) und dreht ihn schließlich Zug um Zug zurecht.
Spätestens nach ca. 5 Minuten ist ihm das gelungen.

Wie das funktioniert, sieht man in dem YouTube-Video.

Wir wollen ja keine Schleichwerbung machen: Aber wäre es für Schulen nicht eine gute Idee, sich und den Schülern Mindstorms NXT einmal probeweise zu gönnen?
Die bieten übrigens auch einen Newsfeed an, so dass man sich auf dem Laufenden halten kann.

Scharen sind was Schönes. Meistens. Vogelscharen zum Beispiel. Es gibt Filme, die deren Zauber vermitteln (Nomaden der Lüfte, Amy und die Wildgänse). Mitunter erschrecken sie auch, jedenfalls Hitchcock (vor 45 Jahren).
Funktionsscharen bzw. Kurvenscharen (denen angeblich kein Leben eingehaucht wurde) sind normalerweise schön und harmlos. Es sei denn, ein fauler und an der Ästhetik der Mathematik desinteressierter Schüler wird hierüber geprüft.
Das Bild zeigt ausschnittsweise den (roten) Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades.
Man sieht die beiden Extrema, ein Minimum bei x = 0 und ein Maximum bei x = 4.
Der Graph geht bei bei der Wendestelle x = 2 von einer Links- in eine Rechtskurve über.
Die durch W verlaufende (Wende-) Tangente ist gestrichelt eingetragen.
Was verbirgt sich hinter der blauen Kurve? Das erschließt sich erst mit einem Geogebra-Applet, das durch Klick auf das Bild aktiviert wird.
Wird dann der (im Moment auf den Parameter a = 1 fixierte) Schieberegler betätigt, verändert sich die rote Kurve. Die neuen Wendepunkte der neuen Kurve wandern entlang der blauen “Ortskurve”. Auf ihr liegen nämlich die Wendepunkte sämtlicher Kurven der Funktionsschar. Auch die Wendetangente wandert natürlich mit.
Es lohnt sich, via rechter Maustaste im Kontextmenü weitere Optionen zu nutzen. So kann man sich die jeweiligen Funktionsgleichungen anschauen.
Für die rote Kurve kann auch “Spur an” gewählt werden, so dass durch Betätigung des Schiebereglers jenes ästhetische (Schar-) Bild erzeugt wird, von dem anfangs die Rede war.

Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
a = 7,5 cm
h_b = 5 cm und
ß = 70°.

Für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal bieten sich 2 Lösungsmöglichkeiten an.

(Ein Klick auf die Abbildung startet ein Geogebra-Applet, mit dem die erste Lösungsvariante demonstriert wird.)

In beiden Fällen wird zunächst das (rechtwinklige) Dreieck
BCF_b konstruiert.
Es ist - aufgrund der Kongruenzsätze - eindeutig konstruierbar.
(Auch berechenbar ist es: Die Länge der Kathede [CF_b] ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.)

1. Lösungsvariante:

(1) Die Punkte B und C sind durch BC = a gegeben.
(2) Der Punkt F_b liegt
1. auf dem Thaleskreis über a
2. auf dem Kreis k (B; h_b).
(3) Der Punkt A liegt
1. auf dem freien Schenkel des Winkels ß, angetragen in B an BC.
2. auf der Geraden F_bC.

Fängt man dagegen mit h_b an, ergibt sich der dritte Punkt C als Schnittpunkt einer Geraden und eines Kreises:

2. Lösungsvariante:

(1) Die Punkte B und F_b sind durch BF_b = h_b gegeben.
(2) Der Punkt C liegt
1. auf dem in F_b zu h_b errichteten Lot
2. auf dem Kreis k (B; a).
(3) Der Punkt A liegt
1. auf dem freien Schenkel des Winkels ß, angetragen in B an BC.
2. auf der Geraden CF_b.

Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
c = 7 cm
h_a = 6 cm und
α = 50°.

Für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal bieten sich 2 Lösungsmöglichkeiten an.

(Ein Klick auf die Abbildung startet ein Geogebra-Applet, mit dem die erste Lösungsvariante demonstriert wird.)

In beiden Fällen wird zunächst das (rechtwinklige) Teildreieck
ABF_a konstruiert. Ein “Trick”, der häufig weiter hilft.
Man löst ja auch Probleme oft dadurch, dass man sie in kleinere, leichter lösbare Teilprobleme zerlegt.
Man kann bei der Konstruktion entweder mit der Seite
c = [AB] beginnen oder aber mit der Höhe h_a = [AF_a].

Fängt man mit der Seite c = [AB] an, ergibt sich der dritte Punkt
F_a als Schnittpunkt zweier Kreislinien: des Thaleskreises über [AB] und des durch den Radius r = h_a bestimmten Kreises um A.

1. Lösungsvariante:

(1) Die Punkte A und B sind durch AB = c gegeben.
(2) Der Punkt F_a liegt
1. auf dem Thaleskreis über c
2. auf dem Kreis k (A; h_a).
(3) Der Punkt C liegt
1. auf dem freien Schenkel des Winkels α, angetragen in A an AB.
2. auf der Geraden F_aB.

Fängt man dagegen mit h_a an, ergibt sich der dritte Punkt B als Schnittpunkt einer Geraden und eines Kreises:

2. Lösungsvariante:

(1) Die Punkte A und F_a sind durch [AF_a] = h_a gegeben.
(2) Der Punkt B liegt
1. auf dem in F_a zu h_a errichteten Lot
2. auf dem Kreis k (A; c)
.
(3) Der Punkt C liegt
1. auf dem freien Schenkel des Winkels α, angetragen in A an AB.
2. auf der Geraden F_aB.

Geogebra kann auch Optimierungsprobleme aus der Differenzialrechnung visualisieren.
Das eingeblendete Bild zeigt den Querschnitt eines geraden Kreiskegels, in den ein möglichst großer Kreiszylinder eingefügt werden soll.
Abhängig vom Radius r erhält man unterschiedliche Volumina, die durch die blaue Kurve angezeigt werden.
Man erkennt, dass das Zylindervolumen beim Radius r = 1 maximal wird - die blaue Kurve besitzt hier einen Scheitelpunkt bzw. einen Hochpunkt.
Im Geogebra-Applet, das mit Klick auf die Grafik aufgerufen wird, kann der Punkt Q entlang der x-Achse verschoben werden.
Man sieht, wie sich in diesem Fall die Höhe des Zylinders und dessen Volumen verändern.

Wie groß sind die Winkel α₁ und α₂?
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, damit sind auch die Basiswinkel α und ß gleich groß - sie lassen sich berechnen, da γ schon bekannt ist.

Und wie groß ist wohl δ Ein eifriger Schüler sollte bei diesem halbkreisigen Bild alle griechischen Glocken bimmeln hören.

Nachdem man weiß, wie groß β und δ sind, lässt sich sofort α₁ berechnen. Da α = β ist, lässt sich nun auch noch α₂ berechnen.

Zur Kontrolle und nur zur Kontrolle kann man auf die Grafik klicken und sich mit Geogebra vollends von seinen Lösungen überzeugen lassen.

Das Bild zeigt die Planfigur eines rechtwinkligen Dreiecks.
Gegeben sind die Seiten a = 6 cm und b = 5 cm. Der Winkel α ist 90°.
Es gibt verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten.
Eine Variante: Man beginnt mit der Seite a, konstruiert dazu den Thaleskreis und zieht zuletzt einen Kreis um den Punkt C (mit Radius 5 cm).
Der Schnittpunkt beider Kreis liefert die fehlende Ecke A.
Durch Klick auf das Bild gelangt man zu einem Geogebra-Applet, das die Konstruktion vorführt.

Weniger poetisch und mehr mathematisch sei nun das Problem und seine Lösung geschildert.

Gegeben: Zwei in S sich schneidende Geraden g und h.

Gesucht: Ein Kreis, der von S 6cm entfernt ist und von den beiden Geraden tangiert wird.

Vorgehensweise:
1) Ziehe (großen) Kreis K um S mit Radius r = 6
2) Konstruiere die Winkelhalbierende w des durch g und h gebildeten Winkels
3) Der Schnittpunkt beider Linien ist M (der Mittelpunkt des gesuchten -kleinen - Kreises k)
4) Achtung: Die Schnittpunkte des (großen) Kreises K und der beiden Geraden sind nicht die gesuchten Berührpunkte!)
5) Der Radius des gesuchten Kreises muss senkrecht zu den zwei tangierenden Geraden sein. Daher:
6) Errichte Thaleskreis über [SM] (natürlich im Mittelpunkt dieser Strecke).
7) Der Schnittpunkt F des Thaleskreises mit der Geraden g ist einer der beiden gesuchten Berührpunkte. Der Radius des gesuchten Kreises (mit Mittelpunkt M) wird bestimmt durch die Länge der Strecke [MF]

Durch Klick auf die Grafik gelangt man wieder zu einem Geogebra-Applet, mit dem die Konstruktion schrittweise nachvollzogen werden kann.

Bei gegebenem Kreis (mit Mittelpunkt M) und einem außerhalb liegenden Punkt P werden mit Hilfe des Thaleskreises zwei Tangenten konstruiert, die durch P verlaufen und den Kreis in B1 und B2 berühren.
Im Bild ist der über der Strecke [MP] errichtete Thaleskreis gestrichelt, sein Mittelpunkt ist T.
Die beiden Schnittpunkte mit dem ursprünglichen Kreis legen die gesuchten Tangenten fest - punktgenau.
Jede nur minimal in Richtung M verschobene Gerade würde den Kreis in zwei Punkten schneiden, wäre also eine Sekante.
Durch Klick auf das Bild gelangt man zu einem interaktiven (Geogebra) Zeichenblatt, auf dem man sich die Konstruktion schrittweise vorführen lassen kann. Man kann auch nach Herz und Laune an Punkten, Geraden und Kreisen ziehen.

Natürlich ließen sich auch “mit Gefühl” auf einem Zeichenblatt die beiden Berührpunkte ziemlich genau lokalisieren.
In den Ingenieurwissenschaften, die sich letztlich auf (exakte) Mathematik gründen, mag man sich bei Konstruktionen - seien es Autos, Flugzeuge oder Atomkraftwerke - aber ungern auf bloßes Gefühl verlassen.
Die nötige Denkweise kann durch die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal geschult werden. Da ist alles (schnitt-) punktgenau - es sei denn, der Stift ist stumpf .