Wellers virtuelle Mathematik-Schule

1. Wie ist eine lineare Funktion eigentlich definiert? (Funktionsterm?)
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   Nennen wir gleich die komplette Funktionsgleichung: f(x) = mx + t
   

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2. Wie sind die Parameter m und t im Funktionsterm zu interpretieren?
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   Der Funktionsgraph ist eine Gerade. m gibt deren Steigung an und t ihren y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die y-Achse von ihr geschnitten wird.

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3. Wie verläuft (allgemein) eine Gerade mit der Steigung –0,5?
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   Sie fällt und zwar im Verhältnis 1 zu 2 (Ein Schritt nach unten, zwei Schritte nach rechts)

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4. Lässt sich aus einem einzigen Punkt einer Gerade die zugehörige Geradengleichung bestimmen?
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   Nein. Eine Gerade ist erst durch 2 Punkte festgelegt.

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5. Meint ‘Geradengleichung’ und ‘Funktionsgleichung einer linearen Funktion’ dasselbe – oder gibt es einen (kleinen) Unterschied?
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   Fast. So ist x = c eine Geradengleichung, aber keine Funktionsgleichung. Die Gerade verläuft parallel zur y-Achse und kann damit kein Funktionsgraph sein. Warum eigentlich?

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6. Was versteht man unter einer expliziten und einer impliziten Geradengleichung?
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   Die explizite ist nach y aufgelöst, die implizite nicht. Ihre Form : ax + by = c.
   

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7. Wie ist der Neigungswinkel einer Gerade definiert?
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   Der spitze Schnittwinkel mit der x-Achse, der positiv oder negativ sein kann. (Es gibt aber auch andere Definitionen.)
   

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8. Lässt sich der Neigungswinkel allein schon aus der Steigung der Geraden ermitteln? Wie?
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   Ja. Der Neigungswinkel α ergibt sich als Arcustangens der Steigung m: α = tan ^-1(m).
   

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9. Wie errechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden und wie den Schnittwinkel?
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   Setzt man die zugehörigen Funktionsterme f(x) und g(x) gleich und löst die Gleichung nach x auf, erhält man die x-Koordinate des Schnittpunkts. Durch Einsetzen des x-Wertes in f(x) oder g(x) erhält man die y-Koordinate.
   Den Schnittwinkel erhält man durch Subtraktion der Neigungswinkel beider Geraden. Es gibt aber auch eine nette Formel.
   

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10. Was muss für die Funktionsterme zweier linearer Funktionen gelten, damit ihre Funktionsgraphen keinen Schnittpunkt besitzen?
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    Der Steigungsparameter m muss auf jeden Fall übereinstimmen. Dann sind die zugehörigen Geraden nämlich parallel.
    

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11. In welchem speziellen Fall ist der Neigungswinkel einer Gerade 0° und wann 90°?
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    0°, falls die Gerade parallel zur x-Achse ist, also bei m = 0. Wenn die Gerade orthogonal zur x-Achse ist (bzw. parallel zur y-Achse), ist der Neigungswinkel 90°.
    

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12. Was gilt für die Steigungen m₁ und m₂ zweier zueinander orthogonaler Geraden?
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    Ihr Produkt ergibt gerade -1. Als Gleichung: m₁ × m₂ = -1
    

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13. Wie gewinnt man aus einer gegebenen Geradensteigung die Steigung einer dazu senkrechten Gerade?
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    Sie ist das negativ Reziproke der Ursprungssteigung. Als Gleichung: m₂ = -1/m₁
    

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14. Wie gewinnt man die Gleichung des Lotes aus der Gleichung der (ursprünglichen) Gerade und einem Punkt P?
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    Die Steigung des Lotes m_L ergibt sich (s.o.) unmittelbar aus der Steigung der Gerade: m_L = -1/m. (Die Steigung m war durch die Geradengleichung gegeben.)
    Setzt man nun noch die Koordinaten des Punktes P(x_P|y_P) in die Gleichung y = m_Ly + t ein, erhält man t, den noch fehlenden y-Achsenabschnitt der Lotgerade.

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15. Wie errechnet man – bei gegebener Geradengleichung und gegebenem Punkt P – den Fußpunkt des Lotes?
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    Als Schnittpunkt der Gerade und des Lotes. (Wie man den Schnittpunkt zweier durch ihre Gleichungen gegebenen Geraden bestimmt, war schon zuvor beantwortet worden.

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16. Wie ermittelt man bei gegebenen zwei Punkten P und Q die zugehörige Gerade bzw. die zugehörige Geradengleichung?
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    Setzt man die Koordinaten der Punkte P(x_P|y_P) und Q(x_Q|y_Q) in die explizite Geradengleichung y = mx + t ein, erhält man zwei lineare Gleichung mit den Unbekannten m und t. Dieses lineare Gleichungssystem (LGS) lässt sich dann leicht nach m und t auflösen.

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17. Was versteht man unter einer Geradenschar und was unter einem Geradenbüschel?
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    Eine Geradenschar ist eine Schar von Geraden (aha!), genauer: eine Menge von Geraden (im Koordinatensystem), die “etwas gemeinsam” haben. Eine spezielle Geradenschar ist ein Geradenbüschel, hier schneiden sich alle Geraden in einem bestimmten Punkt. Verantwortlich für das Gemeinsame der Geraden in einer Schar ist ein Parameter (oft a oder k genannt) im Funktionsterm der linearen Funktion. (Übrigens: Auch m und t sind Parameter).

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18. Nenne einen Funktionsterm, der eine Geradenschar festgelegt.
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    Wir nennen gleich eine komplette Funktionsgleichung: y = ax + 3 - a²
    

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19. Gegeben ist eine Geradenschar – also der Funktionsterm einer linearen Funktion mit einem Parameter k – und gegeben ist ein Punkt P(x₁,y₁).
    Wie errechnet man ein k so, dass die Gerade g_k den Punkt P enthält?
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    Man setzt die Koordinaten x₁ und y₁ in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein und löst sie dann nach k auf - das ist dann nämlich die einzige verbliebene Unbekannte in der linearen Gleichung.

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20. Wie kann man bei einem Geradenbüschel (mit gegebenem Funktionsterm inkl. Parameter k) den gemeinsamen Schnittpunkt P errechnen?
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    Wenn man schon weiß, dass es sich um ein Geradenbüschel handelt, dass also alle Geraden durch einen Punkt gehen, genügt es, zwei spezielle Geraden zu nehmen - etwa die durch k = 0 und k = 1 definierten, und dann (s.o.) deren Schnittpunkt zu bestimmen.
    Wenn man das noch nicht weiß, kann man für zwei verschiedene Parameter, etwa mit k und l benannt, die entsprechenden Funktionsterme gleichsetzen und sie (wenn möglich) nach x auflösen: f_k(x) = f_l(x)

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Christina und Sergej beantworten nun in einer Podcastepisode diese Fragen - nicht vollständig und nicht immer zutreffend, aber sehr unterhaltsam!
Am Besten, man vergleicht ihre Antworten mit den nun hinter “show” stehenden Lösungen und freut sich a. über das schon Gewusste oder b. über das neu Gelernte.
Also: The “show” must go on.

 

 Christina und Sergej über wirklich Wichtiges: Lineare Funktionen und Geradengleichungen: Play Now | Play in Popup | Download