Archiv der Kategorie: Geogebra

Vom Funktionsterm zum Graphen: Geogebra und WolframAlpha im gemeinsamen Einsatz

Lässt sich innerhalb eines mit WordPress betriebenen Blogs eine einfache schulmathematische Rechnung vorführen?
Ja, es geht – mit Stift und Papier geht es allerdings nach wie vor weit schneller.
Auf Papier lässt sich aber weder die vorzügliche Mathematiksoftware Geogebra einsetzen und vorführen, noch WolframAlpha, das eine universelle „computational knowledge engine“ sein will. Auf Deutsch: Eine (fast alles) errechnende Wissensmaschine.
Ich habe für diesen Beitrag alle drei (kostenlosen) „Komponenten“ verwendet: Der kleine Ausschnitt des Koordinatensystems wurde aus Geogebra heraus erzeugt, die Tabelle unten wurde mit EditGrid errechnet und mit WolframAlpha (siehe links) wird der zugehörige Graph erzeugt.
Für die Darstellung der in diesem Fall noch recht einfachen mathematischen Formelsprache habe ich das WordPress-Plugin QuickLaTeX und gleichzeitig den LaTeX Equation Editor verwendet.

Man kann kulturpessimistisch schimpfen, dass Schülern etwa mit WolframAlpha auch noch der letzte Anreiz genommen wird, selbst zu rechnen.
Ich glaube es nicht. Eher erwarte ich, dass zumindest bei einem Teil der Schüler Interesse, vielleicht sogar Faszination geweckt werden kann. Von einer so leicht erzeugbaren Visualisierung mathematischer Sachverhalte konnten Mathematiklehrer in der Vergangenheit jedenfalls nur träumen.

Das oben links eingesetzte WolframAlpha „Widget“ ist nur eines aus einer großen und wachsenden ‚Galerie‚ entsprechender Werkzeuge – nicht nur für Mathematik, sondern u.a. auch für Physik, Astronomie, Geografie, Wirtschaft und weitere Wissensgebiete.

Nun aber zur Musterlösung einer einfachen Ausgabe aus einem Schulbuch für die gymnasiale Jahrgangsstufe 8. Die war im Original übrigens fehlerhaft gestellt, sie wurde hier korrigiert und erlaubt somit eine vernünftige Lösung.

Für die durch einen Funktionsterm festgelegte Funktion r soll ein Graph gezeichnet werden – und zwar für -4 < x < 4. Wann sind die Funktionswerte größer null, was ist die maximale Definitionsmenge?

[latex] r: x \mapsto \frac{1}{4}x -\frac{1}{2}(0,5x + 2x^{2})- (-2^{3}+x^{2}) [/latex]

1. Schritt: Der (Funktions-) Term r(x) wird vereinfacht:

[latex] r(x)= \frac{1}{4}x – \frac{1}{4} x – x^{2}-(-8+x^{2}) [/latex]

und weiter:

[latex] r(x) = – x^{2} +8 – x^{2} = -2 x^{2} +8 [/latex]

2. Schritt:

Nun sollte zu diesem durch Äquivalenzumformung vereinfachten Term durch eigene Rechnung eine Wertetabelle erstellt werden.

Die 9 Wertepaare legen 9 Punkte im Koordinatensystem fest.

Der höchstgelegene Punkt ist offenbar S (0|8). Man sieht auch, dass nur für x-Werte größer als -2 und kleiner als +2 die zugeordneten Punkte oberhalb der x-Achse liegen – da die Funktionswerte r(x) hier alle positiv sind.
Trägt man diese 9 Punkte im Koordinatensystem ein, lässt sich der weitere Kurvenverlauf bereits erahnen. Die Kurve weist nirgendwo Lücken auf. Die Funktion ist für jedes beliebige rationale x definiert.

3. Schritt:

Der mit WolframAlpha erzeugte Graph Gr (eine nach unten geöffnete Parabel) zeigt ein vollständigeres Bild.
[Man muss im Eingabefeld statt dem voreingestellten sin(x) den Term -2x^2+8 eingeben. Auch die untere und obere Grenze des Zahlenbereichs sollte korrigiert werden.]

Realmath! Lineare Gleichungssysteme und grafische Lösungsverfahren

Über die ausgezeichnete Mathematik-Website realmath.de von Andreas Meier wurde hier schon mehrfach berichtet.
Die Website gedeiht prächtig weiter, inzwischen gibt es auch eine englische Version.
Es lohnt auch sehr, Meier auf Twitter zu folgend. Dort kündigt er fortgesetzt neue interaktive Arbeitsblätter an.

BildEin Klassiker ist etwa sein Geogebra-Arbeitsblatt zu linearen Gleichungssystemen und den korrespondierenden grafischen Lösungsverfahren.
Dort muss für die jeweilige lineare Gleichung, eine in blau, die andere in grün, zunächst die richtige Gerade im Koordinatensystem angelegt werden.
Zwei auf den Geraden liegende bewegliche Punkte (A und B, bzw. C und D ) werden so verschoben, dass die neue Gerade dann in Steigung und Achsenabschnitt mit den in der Gleichung gegebenen Parametern m und t übereinstimmt.
Die Koordinaten des Schnittpunkts S (x | y) sind bekanntlich die Lösungen des Gleichungssystems. Ob die Zeichnung korrekt war, lässt sich durch Anklicken eines Buttons prüfen. Auf gleiche Weise lässt sich eine neue Aufgabe generieren.
Natürlich sollte das Gleichunssystem parallel auch rechnerisch gelöst werden, etwa mit dem Additionsverfahren. Auch hierfür gibt es auf realmath.de ein Arbeitsblatt , das für die weitere Umformung Vorschläge anbietet.

Geogebra: Scheitelkurve einer Parabelschar


Mit der kostenlosen Software Geogebra von Markus Hohenwarter lassen sich zahllose mathematische Aufgabenstellungen lösen und eindrucksvoll darstellen.
Hier wird gezeigt, wie sich die Scheitelpunkte einer Parabelschar entlang einer (roten) Kurve bewegen, die der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion ist.
Die Parabelschar ist durch folgende Funktionsgleichung definiert:
fa(x) = ax2 + (1 – 2a)x.

Die Scheitelkurve Gs hat diese Funktionsgleichung:
s(x) = 0.5x + 0.5 – 1/(2 – 2x).

Achtung: Sie müssen diese Grafik anklicken, um das dann etwas verzögert aufgerufene Geogebra-Applet (es erfordert Java !) auch ausführen zu können. Alternativ lässt sich auch das Kontextmenü bzw. die linke Maustaste zum Öffnen nutzen.
Dem Parameter a können im Geogebra-Applet über den Schieberegler verschiedene Werte zwischen -5 und +5 zugewiesen werden. Bewegt man (bei gedrückter linker Maustaste oder mit den Pfeiltasten) den schwarzen Punkt auf diesem Schieberegler, nimmt die Parabel jeweils andere Formen an. (Achtung: Bei a = 0 wird aus der Parabel eine Gerade, genauer: Die Winkelhalbierende des 1. Quadranten.)
Bei negativem a ist die Parabel (erwartungsgemäß) nach unten geöffnet, bei positivem a nach oben. Stets verläuft sie durch den Ursprung sowie den Punkt (2|2). Diese beiden „Fixpunkte“ bilden gewissermaßen das Gerüst bzw. die Klammer der Kurvenschar.
Die Scheitelpunkte liegen stets auf den Ästen der Hyperbel, die durch die gebrochen-rationale Funktion s(x) definiert wird.

Wie man diese Scheitelkurve („Trägergraph aller Scheitelpunkte“) ermittelt, demonstriert Wolfgang Appell an gleich 3 Aufgaben auf seiner ausgesprochen lesenswerten Website: Parabellissima.

Neues Dreieck-Drama: Winkelmessung mit Thales von Milet

Bild

Wie groß sind die Winkel α1 und α2?
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, damit sind auch die Basiswinkel α und ß gleich groß – sie lassen sich berechnen, da γ schon bekannt ist.

Und wie groß ist wohl δ Ein eifriger Schüler sollte bei diesem halbkreisigen Bild alle griechischen Glocken bimmeln hören.

Nachdem man weiß, wie groß β und δ sind, lässt sich sofort α1 berechnen. Da α = β ist, lässt sich nun auch noch α2 berechnen.

Zur Kontrolle und nur zur Kontrolle kann man auf die Grafik klicken und sich mit Geogebra vollends von seinen Lösungen überzeugen lassen.

Thales-Praxis: Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks

BildDas Bild zeigt die Planfigur eines rechtwinkligen Dreiecks.
Gegeben sind die Seiten a = 6 cm und b = 5 cm. Der Winkel α ist 90°.
Es gibt verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten.
Eine Variante: Man beginnt mit der Seite a, konstruiert dazu den Thaleskreis und zieht zuletzt einen Kreis um den Punkt C (mit Radius 5 cm).
Der Schnittpunkt beider Kreis liefert die fehlende Ecke A.
Durch Klick auf das Bild gelangt man zu einem Geogebra-Applet, das die Konstruktion vorführt.