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Die wandernde Wendetangente: Geogebra-Applet veranschaulicht Ortskurve einer Funktionsschar

Scharen sind was Schönes. Meistens. Vogelscharen zum Beispiel. Es gibt Filme, die deren Zauber vermitteln (Nomaden der Lüfte, Amy und die Wildgänse). Mitunter erschrecken sie auch, jedenfalls Hitchcock (vor 45 Jahren).
Funktionsscharen bzw. Kurvenscharen (denen angeblich kein Leben eingehaucht wurde) sind normalerweise schön und harmlos. Es sei denn, ein fauler und an der Ästhetik der Mathematik desinteressierter Schüler wird hierüber geprüft.
Das Bild zeigt ausschnittsweise den (roten) Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades.
Man sieht die beiden Extrema, ein Minimum bei x = 0 und ein Maximum bei x = 4.
Der Graph geht bei bei der Wendestelle x = 2 von einer Links- in eine Rechtskurve über.
Die durch W verlaufende (Wende-) Tangente ist gestrichelt eingetragen.
Was verbirgt sich hinter der blauen Kurve? Das erschließt sich erst mit einem Geogebra-Applet, das durch Klick auf das Bild aktiviert wird.
Wird dann der (im Moment auf den Parameter a = 1 fixierte) Schieberegler betätigt, verändert sich die rote Kurve. Die neuen Wendepunkte der neuen Kurve wandern entlang der blauen „Ortskurve“. Auf ihr liegen nämlich die Wendepunkte sämtlicher Kurven der Funktionsschar. Auch die Wendetangente wandert natürlich mit.
Es lohnt sich, via rechter Maustaste im Kontextmenü weitere Optionen zu nutzen. So kann man sich die jeweiligen Funktionsgleichungen anschauen.
Für die rote Kurve kann auch „Spur an“ gewählt werden, so dass durch Betätigung des Schiebereglers jenes ästhetische (Schar-) Bild erzeugt wird, von dem anfangs die Rede war.

Auch gebrochen-rationale Funktionen gibt es scharweise – Noch ein GeoGebra-Applet


Schar gebrochen-rationaler Funktionen

So sieht ein kleiner Ausschnitt des/der Graphen gebrochen-rationaler Funktionen aus.
Im Zähler des Funktionsterms hat man ein allgemeines Polynom vom Grad 2, im Nenner steht ebenfalls ein quadratisches Polynom, jedoch steckt dort in den Koeffizienten noch der Parameter k.

Achtung: Sie müssen diese Grafik anklicken, um das dann etwas verzögert aufgerufene Geogebra-Applet (es erfordert Java !) auch ausführen zu können. Alternativ lässt sich auch das Kontextmenü bzw. die linke Maustaste zum Öffnen nutzen.
Dem Parameter k können im Geogebra-Applet über den Schieberegler verschiedene Werte zwischen -5 und +5 zugewiesen werden. Bewegt man (bei gedrückter linker Maustaste oder mit den Pfeiltasten) den schwarzen Punkt auf diesem Schieberegler, nimmt der Graph jeweils andere Formen an. (

Setzt man k = 2 erhält man den rot gezeichneten Graphen, der in zwei Hyperbeläste zerfällt, separiert durch eine vertikale Asymptote an der Unendlichkeitsstelle x = -2.
Setzt man k = 4 erhält man den blau gezeichneten Graphen, der an der Unendlichkeitsstelle x = -4 in zwei Äste zerfällt.
k = 2 und eine Asymptote bei x = -2
k = 4 und eine Asymptote bei x = -4. Ist das Zufall, oder steckt dahinter System?

Natürlich letzteres. Man findet schnell heraus, dass das Zählerpolynom Nullstellen bei x = 3 und bei x = -5 hat und daher in die Linearfaktoren (x -3) und (x + 5) zerlegbar ist.
Ebenso ergibt sich, dass das Nennerpolynom Nullstellen bei
x = 3 und bei x = -k hat und entsprechend in die Linearfaktoren
(x – 3) und (x + k) zerlegbar ist.
Damit lässt sich die Funktion in einer Form darstellen, wie sie dem mathematischen Anatom gefällt. Er sieht, wo sie hält und wie sie fällt. Gewissermaßen ihr Skelett:

Bei x = -k wird der Nenner 0. Die Definitionslücke bei x = -k ist offenkundig auch nicht behebbar, was die Funktion an dieser Stelle zwangsläufig in das Unendliche driften lässt.
Auch bei x = 3 wird der Nenner Null. Hier liegt aber keine Unendlichkeitsstelle vor. Die Definitionslücke ist behebbar, da der zugehörige Linearfaktor (x+3) im Nenner und im Zähler vorkommt und daher komplett kürzbar ist.
Nach dem Kürzen hat man eine neue Funktion mit dem Term (x+5)/(x+k), die an der Stelle x = 3 auch definiert ist. Sie hat dort den Wert 8/(k+3).
Mit diesem Wert lässt sich die Lücke der ursprünglichen Funktion – deren Graph bei x = 3 ein „Loch“ hat – beheben.
Was geschieht eigentlich bei k = 5? Dann lässt sich der ursprüngliche Funktionsterm komplett kürzen, übrig bleibt f(x) = 1. Der zugehörige Graph ist die parallel zur x-Achse verlaufende Gerade y = 2 (die bei den Definitionslücken x = 3 und x = -5 ein „Loch“ hat).
Sonst liegt bei x = -5 wegen des nur im Zähler vorkommenden Linearfaktors (x + 5) immer eine reguläre Nullstelle der Funktion vor.
Kein Wunder also, dass sich in unserem Bild die blaue und die rote Kurve an der (Null-) Stelle x = – 5 schneiden.

Unter netalive.org gibt es übrigens ein vorzügliches „Digitales Lehrbuch“ über Rationale Funktionen. Verfasst wurde es von Henning Koch im Rahmen einer Facharbeit. Es richtet sich an Gymnasiasten der 11. Jahrgangsstufe.

Extrema mit Geogebra: Wenn ein Zylinder unter einem Kegel groß herauskommen will

BildGeogebra kann auch Optimierungsprobleme aus der Differenzialrechnung visualisieren.
Das eingeblendete Bild zeigt den Querschnitt eines geraden Kreiskegels, in den ein möglichst großer Kreiszylinder eingefügt werden soll.
Abhängig vom Radius r erhält man unterschiedliche Volumina, die durch die blaue Kurve angezeigt werden.
Man erkennt, dass das Zylindervolumen beim Radius r = 1 maximal wird – die blaue Kurve besitzt hier einen Scheitelpunkt bzw. einen Hochpunkt.
Im Geogebra-Applet, das mit Klick auf die Grafik aufgerufen wird, kann der Punkt Q entlang der x-Achse verschoben werden.
Man sieht, wie sich in diesem Fall die Höhe des Zylinders und dessen Volumen verändern.

 

Geogebra: Scheitelkurve einer Parabelschar


Mit der kostenlosen Software Geogebra von Markus Hohenwarter lassen sich zahllose mathematische Aufgabenstellungen lösen und eindrucksvoll darstellen.
Hier wird gezeigt, wie sich die Scheitelpunkte einer Parabelschar entlang einer (roten) Kurve bewegen, die der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion ist.
Die Parabelschar ist durch folgende Funktionsgleichung definiert:
fa(x) = ax2 + (1 – 2a)x.

Die Scheitelkurve Gs hat diese Funktionsgleichung:
s(x) = 0.5x + 0.5 – 1/(2 – 2x).

Achtung: Sie müssen diese Grafik anklicken, um das dann etwas verzögert aufgerufene Geogebra-Applet (es erfordert Java !) auch ausführen zu können. Alternativ lässt sich auch das Kontextmenü bzw. die linke Maustaste zum Öffnen nutzen.
Dem Parameter a können im Geogebra-Applet über den Schieberegler verschiedene Werte zwischen -5 und +5 zugewiesen werden. Bewegt man (bei gedrückter linker Maustaste oder mit den Pfeiltasten) den schwarzen Punkt auf diesem Schieberegler, nimmt die Parabel jeweils andere Formen an. (Achtung: Bei a = 0 wird aus der Parabel eine Gerade, genauer: Die Winkelhalbierende des 1. Quadranten.)
Bei negativem a ist die Parabel (erwartungsgemäß) nach unten geöffnet, bei positivem a nach oben. Stets verläuft sie durch den Ursprung sowie den Punkt (2|2). Diese beiden „Fixpunkte“ bilden gewissermaßen das Gerüst bzw. die Klammer der Kurvenschar.
Die Scheitelpunkte liegen stets auf den Ästen der Hyperbel, die durch die gebrochen-rationale Funktion s(x) definiert wird.

Wie man diese Scheitelkurve („Trägergraph aller Scheitelpunkte“) ermittelt, demonstriert Wolfgang Appell an gleich 3 Aufgaben auf seiner ausgesprochen lesenswerten Website: Parabellissima.

Quiz zum Thema Quadratische Funktionen und Parabelscharen

  1. Was hat die „Mitternachtsformel“ mit Parabeln zu tun?
    top secret
    Sie liefert – falls existent – deren Nullstellen.


  2. Wie gewinnt man aus der Normalform einer Parabelgleichung die Scheitelpunktform – und umgekehrt?
    top secret
    Durch quadratische Ergänzung. Umgekehrt lässt sich aus der Scheitelpunktform y = a·(x – xs)² + ys durch einfache Termumformung (Quadrieren, Multiplizieren, Addieren) die Normalform herleiten.


  3. Der Funktionsterm der quadratischen Funktion lautet ax² + bx + c. Was läßt sich aus den Koeffizienten a und c (insbesondere aus deren Vorzeichen) ablesen?
  4. Für die x-Koordinate eines (Parabel-) Scheitelpunktes gilt: xS = -b/2a.
    Wie läßt sich diese Formel beweisen?
  5. In welcher Beziehung stehen die Koordinaten des Scheitelpunktes mit den (eventuellen) Nullstellen einer quadratischen Funktion?
  6. Ist eine auf ganz R definierte quadratische Funktion umkehrbar?
  7. Welche Art von Beschränktheit kann bei einer quadratischen Funktion vorliegen und welche nicht?
  8. Wie läßt sich – falls existent – das Supremum bzw. das Infimum einer quadratischen Funktion bestimmen?
  9. Eine Parabel ist stets achsensymmetrisch. Wie bestimmt man rechnerisch die Gleichung der Symmetrieachse?
  10. Wie nennt man eine Funktion, deren Graph
    a) achsensymmetrisch zur y-Achse ist
    b) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
  11. Wie läßt sich bei gegebener (quadratischer) Funktionsgleichung die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt (x0| f(x0)) errechnen – und zwar ohne Differentialrechnung?
  12. Wie läßt sich die Scheitelkurve einer Parabelschar rechnerisch bestimmen?
  13. Gegeben sind 3 Punkte A, B und C mitsamt ihrer Koordinaten. Wie bestimmt man daraus die durch die Punkte festgelegte Parabel bzw. deren Funktionsgleichung?
  14. Was läßt sich über die Parabel(n) sagen, die nur durch zwei Punkte festgelegt sind?
  15. Wie viele Schnittpunkte können 2 Parabeln besitzen und wie lassen sich diese rechnerisch bestimmen?
  16. Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel und eine Gerade besitzen und wie lassen sich diese rechnerisch bestimmen?
  17. Wie ist eine ganzrationale Funktion definiert?