Archiv der Kategorie: Mathematik 7

(Lineare) Gleichungen: Prinzipien und Lektionen

Lineare Gleichung WaageDie liebste Gleichung eines mathematisch verzagten Schülers besteht aus nur 3 Zeichen und sieht so aus: x = 1.
(Als Variable könnte natürlich auch ein anderer Buchstabe gewählt werden und die 1 durch eine andere Zahl ersetzt werden.)
Hier ist nämlich nichts mehr zu tun. Die Gleichung ist bereits gelöst.
Normalerweise kommt eine Gleichung natürlich anders daher und will erst Schritt für Schritt gelöst werden – bis sie die gezeigte Form hat.
Man kann sich das ähnlich vorstellen wie auf einem Maskenball. Wer hinter der „Maske“ x steckt, muss erst noch entlarvt werden.
Lineare Gleichung Waage

Die „Entlarvung“ ist aber an strenge Regeln gebunden: Nur Äquivalenzumformungen der Gleichung sind erlaubt.
Nicht erlaubt ist es, wie auf einer Baustelle zu verfahren. Eine irgendwie lästige oder nicht passende Zahl oder Variable kann nicht einfach so in eine Schubkarre gelegt werden und an anderer Stelle wieder abgelegt werden, zum Beispiel rechts vom Gleichheitszeichen.
Die Regeln zur korrekten Umformung und Auflösung einer Gleichung sind so schwer aber gar nicht.
Im Grunde lassen sie sich auf ein einziges (Symmetrie-) Prinzip reduzieren: Was mit der einen Seite gemacht wird, muss immer auch mit der anderen Seite gemacht werden.
Eine Gleichung will Gleichheit und Gerechtigkeit, weswegen ihr Prinzip häufig mit der (auch die Justiz symbolisierenden) Waage beschrieben wird.
Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen dürfen bei Äquivalenzumformungen allemal geändert werden, so wie die Schalen einer Waage mit mehr oder weniger Gewichten gefüllt werden dürfen: Nur das „Gleichgewicht“ (=) muss gewahrt bleiben.
Man kann sich auch zwei eifersüchtige Geschwister vorstellen.
Bekommt ein Kind von den Eltern ein Geschenk, kräht das andere: Ich will das auch!
Wird also auf einer Seite der Gleichung etwas hinzuaddiert, muss das auf der anderen Seite ebenso hinzuaddiert werden. Das gilt auch für eine Multiplikation oder andere mathematische Operationen. Was links gemacht wird, muss auch rechts gemacht werden (und umgekehrt).
Und was macht man mit den Termen links und rechts? Die werden natürlich nicht willkürlich geändert bzw. umgeformt.
Ziel ist es ja, die Variable(n) von den Zahlen zu separieren. Am Ende soll links nur noch die Variable stehen und rechts nur noch eine Zahl.
Dazu muss die Variable gewissermaßen aus ihrer „Verpackung“ im Term sachgerecht herausgelöst bzw. befreit werden.
Das ähnelt ein wenig dem Lösen eines (komplizierten) Knotens. Man muss an der richtigen Stelle anfangen und sollte nicht blindlings an irgendwelchen Schnüren ziehen.

Eine besonders einfache Klasse von Gleichungen sind die linearen Gleichungen.
Sie haben die Form ax + b = cx + d.
(Die linearen Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen lassen sich auch mit besonders einfachen geometrischen Objekten darstellen: Mit Geraden.)

Für das Lösen dieser einfachen Gleichungen gibt es im Web viele Übungsmöglichkeiten.
Beispielsweise wieder bei zum.de:

Sehr schön sind auch Arndt Brünners Übungen zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen.

Bei ihm kann man zwischen 6 Schwierigkeitsstufen wählen, insbesondere kann zwischen linearen Gleichungen und quadratischen Gleichungen gewählt werden.
Man kann sogar eigene Gleichungen eingeben, was sich vor allem bei Hausaufgaben anbietet.
Die muss man zwar immer noch selbst lösen, man bekommt jedoch für jede neue Zeile eine Rückmeldung, ob die Rechnung (und am Ende die Lösung) korrekt war.

(Auf der gleichen Seite kann übrigens auch das Auflösen von Klammern und das Faktorisieren geübt werden.)

Noch mehr Terme: Auf vielen Webseiten kann gerechnet werden, bis die Köpfe rauchen

Weitere interessante Seiten zum Rechnen mit Termen:

Was sind eigentlich „gleichartige Terme“ und wie rechnet man mit ihnen? Im Englischen heißen sie übrigens „like terms„.

Und hier noch eine Seite mit „Puzzles„, bei denen äquivalente Terme zusammengelegt werden sollen.

Terme, keine Termiten: Wesentliches über kleine, mathematische Wesen

Termiten

Auf der Wikipedia findet sich eine prägnante Definition für den Term – der übrigens weder ein Sohn des Terminators ist noch der Vater einer Termite:

In der Mathematik bezeichnet Term einen sinnvollen Ausdruck, der Ziffern, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind sozusagen die grammatisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik.

Terme stehen immer für mathematische Objekte wie Zahlen, Funktionen oder Mengen.

Das Schülerherz sollte auch höher schlagen bei den vielen nützlichen Materialien, die sich im Web zum Üben finden.
Beispielweise das kleine (als zip-Datei herunterladbare) Programm „Terme„.
Es gibt auch unterschiedlichste Übungen, die online bearbeitet werden können:
So hat Dieter Welz auf dem Bildungsserver von ZUM (Zentrale für Unterrichtsmedien e.V.) zu den bisher schon angebotenen Materialien im Lernstudio Mathematik auch noch zahlreiche Applets eingestellt – unter anderem zum Berechnen und Umformen von Termen.

Andreas Meier hat unter realmath.de ein beeindruckendes Portal für die (Real-) Schulmathematik der Stufen 6 bis 10 aufgebaut.
Nett ist ein Applet, in dem das Aufstellen von Termen geübt werden kann und zwar am Beispiel von Briefbögen und Briefumschlägen.
Eine typische Frage: Wenn ein Briefumschlag x Gramm wiegt, ein Briefbogen 4 g, wieviel wiegt dann ein Brief mit 3 Briefbögen?

Für Schüler der Stufen 6 und 7 eine gute Möglichkeit, das Wesen eines Terms zu verstehen, der ja selbst ein ganz wesentliches mathematisches Wesen ist.

Simplify your terms: Wie man sich das Leben und Rechnen mit Termen leichter macht.


Um sich als Schüler die Mathematik und damit das Leben etwas leichter zu machen, sollte man wissen, wie man mit Termen umgeht, vor allem, wie man sie vereinfacht.
Ein Produktterm ist ein relativ simpel gestrickter Term. Er enthält in der Regel Zahlen und Variablen, die miteinander multipliziert werden. Die Zahlen können in unterschiedlicher Darstellung vorkommen, bei den Variablen kann die Potenzschreibweise verwendet werden, es kann auch ein (negatives) Vorzeichen im Spiele sein.
Zur Vereinfachung des Terms wird vor allem das Kommutativgesetz der Multiplikation eingesetzt.
Was im Einzelnen zu tun ist, demonstriert die kleine, eingebaute Präsentation. Die empfohlenen Schritte müssen nicht stur in dieser Reihenfolge eingehalten werden. Wichtig ist, dass die Rechengesetze eingehalten werden, ein Gesetzesbrecher riskiert nämlich eine rechnerische Katastrophe.

Dreieckskonstruktion mit Hilfe des Thaleskreises (II)

Bild

Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
a = 7,5 cm
hb = 5 cm und
ß = 70°.

Für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal bieten sich 2 Lösungsmöglichkeiten an.

(Ein Klick auf die Abbildung startet ein Geogebra-Applet, mit dem die erste Lösungsvariante demonstriert wird.)

In beiden Fällen wird zunächst das (rechtwinklige) Dreieck
BCFb konstruiert.
Es ist – aufgrund der Kongruenzsätze – eindeutig konstruierbar.
(Auch berechenbar ist es: Die Länge der Kathede [CFb] ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.)

 

 

1. Lösungsvariante:

(1) Die Punkte B und C sind durch BC = a gegeben.
(2) Der Punkt Fb liegt
1. auf dem Thaleskreis über a
2. auf dem Kreis k (B; hb).
(3) Der Punkt A liegt
1. auf dem freien Schenkel des Winkels ß, angetragen in B an BC.
2. auf der Geraden FbC.

Fängt man dagegen mit hb an, ergibt sich der dritte Punkt C als Schnittpunkt einer Geraden und eines Kreises:

2. Lösungsvariante:

(1) Die Punkte B und Fb sind durch BFb = hb gegeben.
(2) Der Punkt C liegt
1. auf dem in Fb zu hb errichteten Lot
2. auf dem Kreis k (B; a).
(3) Der Punkt A liegt
1. auf dem freien Schenkel des Winkels ß, angetragen in B an BC.
2. auf der Geraden CFb.