Archiv der Kategorie: Mathematik 8

Serlo.org – Eine neue (Mathematik-) Lernplattform für Schüler

Serlo.org ist nach eigener Lesart eine „professionelle Lernplattform mit didaktisch wertvollen Lernmaterialien“. Gegenwärtig nur für Mathematik. Das aber soll hier nicht stören. Wir haben einige gängige Themen der Schulmathematik herausgegriffen und nach passenden Materialien gesucht:

Was ist ein Bruchterm? Dazu gibt es viele Aufgaben – auch mit Lösungen. Aber nicht jede Berechnung bzw. Musterlösung gefällt.

Was sind gebrochen-rationale Funktionen … und wie sehen ihre Graphen (meist Hyperbeln) aus?

Ihre Eigenschaften werden an Beispielen demonstriert. Dabei geht es natürlich auch um Definitionslücken, damit zusammenhängend um Polstellen, Asymptoten und deren Berechnung. Und wieder gibt es haufenweise Aufgaben mit Lösungen.

Auf ähnlichem Terrain bewegt sich die (kommerzielle) Plattform bettermarks.com. Deren deutsche Seite bewirbt ein Adaptives Lernen mit interaktiven Mathebüchern. Aus dem großen Kapitel „Algebra und Funktionen“ haben wir uns die Darstellung von Bruchgleichungen näher angesehen und die der thematisch benachbarten gebrochen-rationalen Funktionen.
Das ist ausführlicher als auf serlo.org, allerdings vermisst man die Einbindung von Geogebra.

Auf realmath.de gibt es im Gegensatz zu serlo.og mehr interaktive Übungen, auch spielerische. Beispielsweise zum Bestimmen der Definitionsmenge eines Bruchterms, zu deren Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren.

Danach können Bruchgleichungen gelöst werden: Auf Level 1, Level 2, Level 3a und Level 3b.

Auf beiden Plattformen wird Geogebra genutzt, bei Serlo.org können die jeweiligen Arbeitsblätter auch leicht heruntergeladen werden.

Üppiges Material (pdf-Dateien) zum Üben findet sich u.a. auch unter der Adresse digitale-schule-bayern.de und schule.bayernport.com

Auch auf der Plattform mathegym.de (mit zusätzlichen Übungsmöglichkeien für registrierte Nutzer) finden sich viele Materialien: Zu Bruchgleichungen
diese situationsbezogenen Beispiele: A (Definitionsmenge bestimmen)B („Kehrwerttrick“)C („Überkreuzmultiplizieren“)D (Hauptnenner bestimmen).  [Nur die letzte Variante D ist eine allgemeingültige Lösungsmethode für Bruchgleichungen].

Vom Funktionsterm zum Graphen: Geogebra und WolframAlpha im gemeinsamen Einsatz

Lässt sich innerhalb eines mit WordPress betriebenen Blogs eine einfache schulmathematische Rechnung vorführen?
Ja, es geht – mit Stift und Papier geht es allerdings nach wie vor weit schneller.
Auf Papier lässt sich aber weder die vorzügliche Mathematiksoftware Geogebra einsetzen und vorführen, noch WolframAlpha, das eine universelle „computational knowledge engine“ sein will. Auf Deutsch: Eine (fast alles) errechnende Wissensmaschine.
Ich habe für diesen Beitrag alle drei (kostenlosen) „Komponenten“ verwendet: Der kleine Ausschnitt des Koordinatensystems wurde aus Geogebra heraus erzeugt, die Tabelle unten wurde mit EditGrid errechnet und mit WolframAlpha (siehe links) wird der zugehörige Graph erzeugt.
Für die Darstellung der in diesem Fall noch recht einfachen mathematischen Formelsprache habe ich das WordPress-Plugin QuickLaTeX und gleichzeitig den LaTeX Equation Editor verwendet.

Man kann kulturpessimistisch schimpfen, dass Schülern etwa mit WolframAlpha auch noch der letzte Anreiz genommen wird, selbst zu rechnen.
Ich glaube es nicht. Eher erwarte ich, dass zumindest bei einem Teil der Schüler Interesse, vielleicht sogar Faszination geweckt werden kann. Von einer so leicht erzeugbaren Visualisierung mathematischer Sachverhalte konnten Mathematiklehrer in der Vergangenheit jedenfalls nur träumen.

Das oben links eingesetzte WolframAlpha „Widget“ ist nur eines aus einer großen und wachsenden ‚Galerie‚ entsprechender Werkzeuge – nicht nur für Mathematik, sondern u.a. auch für Physik, Astronomie, Geografie, Wirtschaft und weitere Wissensgebiete.

Nun aber zur Musterlösung einer einfachen Ausgabe aus einem Schulbuch für die gymnasiale Jahrgangsstufe 8. Die war im Original übrigens fehlerhaft gestellt, sie wurde hier korrigiert und erlaubt somit eine vernünftige Lösung.

Für die durch einen Funktionsterm festgelegte Funktion r soll ein Graph gezeichnet werden – und zwar für -4 < x < 4. Wann sind die Funktionswerte größer null, was ist die maximale Definitionsmenge?

[latex] r: x \mapsto \frac{1}{4}x -\frac{1}{2}(0,5x + 2x^{2})- (-2^{3}+x^{2}) [/latex]

1. Schritt: Der (Funktions-) Term r(x) wird vereinfacht:

[latex] r(x)= \frac{1}{4}x – \frac{1}{4} x – x^{2}-(-8+x^{2}) [/latex]

und weiter:

[latex] r(x) = – x^{2} +8 – x^{2} = -2 x^{2} +8 [/latex]

2. Schritt:

Nun sollte zu diesem durch Äquivalenzumformung vereinfachten Term durch eigene Rechnung eine Wertetabelle erstellt werden.

Die 9 Wertepaare legen 9 Punkte im Koordinatensystem fest.

Der höchstgelegene Punkt ist offenbar S (0|8). Man sieht auch, dass nur für x-Werte größer als -2 und kleiner als +2 die zugeordneten Punkte oberhalb der x-Achse liegen – da die Funktionswerte r(x) hier alle positiv sind.
Trägt man diese 9 Punkte im Koordinatensystem ein, lässt sich der weitere Kurvenverlauf bereits erahnen. Die Kurve weist nirgendwo Lücken auf. Die Funktion ist für jedes beliebige rationale x definiert.

3. Schritt:

Der mit WolframAlpha erzeugte Graph Gr (eine nach unten geöffnete Parabel) zeigt ein vollständigeres Bild.
[Man muss im Eingabefeld statt dem voreingestellten sin(x) den Term -2x^2+8 eingeben. Auch die untere und obere Grenze des Zahlenbereichs sollte korrigiert werden.]

Laplace-Wahrscheinlichkeit: Alles nur gewürfelt

In gerade einmal 32 Minuten werden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in einem YouTube-Video von Frank Schumann abgehandelt. Er macht das sehr bedächtig.

Spielerischer geht es auf realmath.de zu. Dort gibt es zur Stochastik diverse kleine Übungen:

Ein einmaliger Wurf

Absolute und relative Häufigkeit

Wahrscheinlichkeiten beim Roulette

Laplace-Wahrscheinlichkeite (Glückskreisel)

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Würfeln mit einem manipulierten Würfel

Zweistufiges Laplacexperiment

Die Mathematik-Fachschaft des Münchner Wilhelm-Hausenstein-Gymnasiums stellt unter der Adresse
mathe-oli.de Online-Lernmaterial zur Intensivierung bereit.
Im pdf-Format gibt es dort eine kleine Aufgabensammlung zum Zählprinzip Teil 1 und Teil 2
Auch die Lösungen werden als pdf (Teil 1 und Teil 2) bereitgestellt.
Hilfestellungen zu diesem Thema finden sich u.a. auf der Website Mathebibel.de: Das allgemeine Zählprinzip

Weitere Musterlösungen (nach Eingabe eines kleingeschriebenen weiblichen Gymnasialnamens): [password] hier [/password]

Lineare Gleichungssysteme: LGS im WWW

Das Wachstum des World Wide Web im Ganzen und ebenso das Wachstum themenspezifischer Ressourcen im Web dürfte nicht linear sondern exponentiell verlaufen. Das gilt auch für die Mathematik und im Besonderen für das Thema Lineare Gleichungssysteme.
Man entdeckt ständig neue Materialien.

Einige gute Adressen sollen hier vorgestellt werden. Einen anspruchsvollen Überblick bietet natürlich die Wikipedia. Schüler allerdings dürften bei diesem Artikel überfordert sein.
Der noch besser ausgearbeitete englischsprachige Artikel liefert mit schönen Graphiken auch eine geometrische Interpretation (Schnitt von Geraden bzw. Ebenen).

Kompatibel mit schulischem Niveau sind dagegen drei Videos ( 123) von Andreas Meier auf realmath.de. Er demonstriert dort das Additionsverfahren.
Gut sind auch die von ihm bereitgestellten Multiple-Choice-Übungen.

Für weniger ehrgeizige Schüler dürfte sich vor allem der „Schulminator“ anbieten. Dort kann man lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen automatisch lösen lassen. Das Additionsverfahren wird zudem mit fünf Übungsaufgaben (pdf) demonstriert – Schritt für Schritt.
Alle drei gängigen Lösungsverfahren stellt Ina de Brabandt vor, anspruchsvoller und bereits auf die Oberstufe zielend: Das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das in Theorie und Praxis besonders wichtige Additionsverfahren.
Auch hier (pdf) werden die jeweiligen Verfahren an Beispielen demonstriert, zudem werden die drei Lösungsvarianten graphisch dargestellt: Keine Lösung – Eine Lösung – Unendlich viele Lösungen.
Weitere Musterlösungen (nach Eingabe eines kleingeschriebenen weiblichen Gymnasialnamens): [password] hier [/password]

Gut sind schließlich auch die Videos des Münchner Mathematiklehrers Rainer Ammel (mathegym.de).

YouTube: Ein Kanal für alles, auch für Bildung

YouTube taugt für vieles, mal mehr, mal weniger. Unbestreitbar ist es mittlerweile auch eine der wichtigsten Plattformen für das Lernen im Web. Kaum etwas, wofür es dort keine Lektionen gäbe.
YouTube kann helfen, Fremdsprachen (z.B. Japanisch) zu lernen, Musikinstrumente (beginnend mit Noten ) … und neben vielem anderen auch Mathematik.
So bietet Andreas Meier, Macher von Realmath.de , für seine dynamischen Geogebra-Arbeitsblätter verschiedentlich auch einführende Lektionen auf YouTube.
Hier etwa zu einem Klassiker der Schulmathematik: Zu zwei gegebenen Punkten im Koordinatensystem soll die Steigung der Verbindungsgerade bestimmt werden. (Das zugehörige Arbeitsblatt findet sich hier.)