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Quiz zum Thema Quadratische Funktionen und Parabelscharen

  1. Was hat die „Mitternachtsformel“ mit Parabeln zu tun?
    top secret
    Sie liefert – falls existent – deren Nullstellen.


  2. Wie gewinnt man aus der Normalform einer Parabelgleichung die Scheitelpunktform – und umgekehrt?
    top secret
    Durch quadratische Ergänzung. Umgekehrt lässt sich aus der Scheitelpunktform y = a·(x – xs)² + ys durch einfache Termumformung (Quadrieren, Multiplizieren, Addieren) die Normalform herleiten.


  3. Der Funktionsterm der quadratischen Funktion lautet ax² + bx + c. Was läßt sich aus den Koeffizienten a und c (insbesondere aus deren Vorzeichen) ablesen?
  4. Für die x-Koordinate eines (Parabel-) Scheitelpunktes gilt: xS = -b/2a.
    Wie läßt sich diese Formel beweisen?
  5. In welcher Beziehung stehen die Koordinaten des Scheitelpunktes mit den (eventuellen) Nullstellen einer quadratischen Funktion?
  6. Ist eine auf ganz R definierte quadratische Funktion umkehrbar?
  7. Welche Art von Beschränktheit kann bei einer quadratischen Funktion vorliegen und welche nicht?
  8. Wie läßt sich – falls existent – das Supremum bzw. das Infimum einer quadratischen Funktion bestimmen?
  9. Eine Parabel ist stets achsensymmetrisch. Wie bestimmt man rechnerisch die Gleichung der Symmetrieachse?
  10. Wie nennt man eine Funktion, deren Graph
    a) achsensymmetrisch zur y-Achse ist
    b) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
  11. Wie läßt sich bei gegebener (quadratischer) Funktionsgleichung die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt (x0| f(x0)) errechnen – und zwar ohne Differentialrechnung?
  12. Wie läßt sich die Scheitelkurve einer Parabelschar rechnerisch bestimmen?
  13. Gegeben sind 3 Punkte A, B und C mitsamt ihrer Koordinaten. Wie bestimmt man daraus die durch die Punkte festgelegte Parabel bzw. deren Funktionsgleichung?
  14. Was läßt sich über die Parabel(n) sagen, die nur durch zwei Punkte festgelegt sind?
  15. Wie viele Schnittpunkte können 2 Parabeln besitzen und wie lassen sich diese rechnerisch bestimmen?
  16. Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel und eine Gerade besitzen und wie lassen sich diese rechnerisch bestimmen?
  17. Wie ist eine ganzrationale Funktion definiert?

Quiz zum Thema Lineare Funktionen, Geradengleichungen und Geradenscharen

  1. Wie ist eine lineare Funktion eigentlich definiert? (Funktionsterm?)
    top secret
    Nennen wir gleich die komplette Funktionsgleichung: f(x) = mx + t


  2. Wie sind die Parameter m und t im Funktionsterm zu interpretieren?
    top secret
    Der Funktionsgraph ist eine Gerade. m gibt deren Steigung an und t ihren y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die y-Achse von ihr geschnitten wird.


  3. Wie verläuft (allgemein) eine Gerade mit der Steigung –0,5?
    top secret
    Sie fällt und zwar im Verhältnis 1 zu 2 (Ein Schritt nach unten, zwei Schritte nach rechts)


  4. Lässt sich aus einem einzigen Punkt einer Gerade die zugehörige Geradengleichung bestimmen?
    top secret
    Nein. Eine Gerade ist erst durch 2 Punkte festgelegt.


  5. Meint ‚Geradengleichung‘ und ‚Funktionsgleichung einer linearen Funktion‘ dasselbe – oder gibt es einen (kleinen) Unterschied?
    top secret
    Fast. So ist x = c eine Geradengleichung, aber keine Funktionsgleichung. Die Gerade verläuft parallel zur y-Achse und kann damit kein Funktionsgraph sein. Warum eigentlich?


  6. Was versteht man unter einer expliziten und einer impliziten Geradengleichung?
    top secret
    Die explizite ist nach y aufgelöst, die implizite nicht. Ihre Form : ax + by = c.


  7. Wie ist der Neigungswinkel einer Gerade definiert?
    top secret
    Der spitze Schnittwinkel mit der x-Achse, der positiv oder negativ sein kann. (Es gibt aber auch andere Definitionen.)


  8. Lässt sich der Neigungswinkel allein schon aus der Steigung der Geraden ermitteln? Wie?
    top secret
    Ja. Der Neigungswinkel a ergibt sich als Arcustangens der Steigung m: a = tan -1(m).


  9. Wie errechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden und wie den Schnittwinkel?
    top secret
    Setzt man die zugehörigen Funktionsterme f(x) und g(x) gleich und löst die Gleichung nach x auf, erhält man die x-Koordinate des Schnittpunkts. Durch Einsetzen des x-Wertes in f(x) oder g(x) erhält man die y-Koordinate.
    Den Schnittwinkel erhält man durch Subtraktion der Neigungswinkel beider Geraden. Es gibt aber auch eine nette Formel.


  10. Was muss für die Funktionsterme zweier linearer Funktionen gelten, damit ihre Funktionsgraphen keinen Schnittpunkt besitzen?
    top secret
    Der Steigungsparameter m muss auf jeden Fall übereinstimmen. Dann sind die zugehörigen Geraden nämlich parallel.


  11. In welchem speziellen Fall ist der Neigungswinkel einer Gerade 0° und wann 90°?
    top secret
    0°, falls die Gerade parallel zur x-Achse ist, also bei m = 0. Wenn die Gerade orthogonal zur x-Achse ist (bzw. parallel zur y-Achse), ist der Neigungswinkel 90°.


  12. Was gilt für die Steigungen m1 und m2 zweier zueinander orthogonaler Geraden?
    top secret
    Ihr Produkt ergibt gerade -1. Als Gleichung: m1 × m2 = -1


  13. Wie gewinnt man aus einer gegebenen Geradensteigung die Steigung einer dazu senkrechten Gerade?
    top secret
    Sie ist das negativ Reziproke der Ursprungssteigung. Als Gleichung: m2 = -1/m1


  14. Wie gewinnt man die Gleichung des Lotes aus der Gleichung der (ursprünglichen) Gerade und einem Punkt P?
    top secret
    Die Steigung des Lotes mL ergibt sich (s.o.) unmittelbar aus der Steigung der Gerade: mL = -1/m. (Die Steigung m war durch die Geradengleichung gegeben.)
    Setzt man nun noch die Koordinaten des Punktes P(xP|yP) in die Gleichung y = mLy + t ein, erhält man t, den noch fehlenden y-Achsenabschnitt der Lotgerade.


  15. Wie errechnet man – bei gegebener Geradengleichung und gegebenem Punkt P – den Fußpunkt des Lotes?
    top secret
    Als Schnittpunkt der Gerade und des Lotes. (Wie man den Schnittpunkt zweier durch ihre Gleichungen gegebenen Geraden bestimmt, war schon zuvor beantwortet worden.


  16. Wie ermittelt man bei gegebenen zwei Punkten P und Q die zugehörige Gerade bzw. die zugehörige Geradengleichung?
    top secret

    Setzt man die Koordinaten der Punkte P(xP|yP) und Q(xQ|yQ) in die explizite Geradengleichung y = mx + t ein, erhält man zwei lineare Gleichung mit den Unbekannten m und t. Dieses lineare Gleichungssystem (LGS) lässt sich dann leicht nach m und t auflösen.


  17. Was versteht man unter einer Geradenschar und was unter einem Geradenbüschel?
    top secret
    Eine Geradenschar ist eine Schar von Geraden (aha!), genauer: eine Menge von Geraden (im Koordinatensystem), die „etwas gemeinsam“ haben. Eine spezielle Geradenschar ist ein Geradenbüschel, hier schneiden sich alle Geraden in einem bestimmten Punkt. Verantwortlich für das Gemeinsame der Geraden in einer Schar ist ein Parameter (oft a oder k genannt) im Funktionsterm der linearen Funktion. (Übrigens: Auch m und t sind Parameter).


  18. Nenne einen Funktionsterm, der eine Geradenschar festgelegt.
    top secret
    Wir nennen gleich eine komplette Funktionsgleichung: y = ax + 3 – a2


  19. Gegeben ist eine Geradenschar – also der Funktionsterm einer linearen Funktion mit einem Parameter k – und gegeben ist ein Punkt P(x1,y1).
    Wie errechnet man ein k so, dass die Gerade gk den Punkt P enthält?
    top secret
    Man setzt die Koordinaten x1 und y1 in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein und löst sie dann nach k auf – das ist dann nämlich die einzige verbliebene Unbekannte in der linearen Gleichung.


  20. Wie kann man bei einem Geradenbüschel (mit gegebenem Funktionsterm inkl. Parameter k) den gemeinsamen Schnittpunkt P errechnen?
    top secret
    Wenn man schon weiß, dass es sich um ein Geradenbüschel handelt, dass also alle Geraden durch einen Punkt gehen, genügt es, zwei spezielle Geraden zu nehmen – etwa die durch k = 0 und k = 1 definierten, und dann (s.o.) deren Schnittpunkt zu bestimmen.
    Wenn man das noch nicht weiß, kann man für zwei verschiedene Parameter, etwa mit k und l benannt, die entsprechenden Funktionsterme gleichsetzen und sie (wenn möglich) nach x auflösen: fk(x) = fl(x)


Christina und Sergej beantworten nun in einer Podcastepisode diese Fragen – nicht vollständig und nicht immer zutreffend, aber sehr unterhaltsam!
Am Besten, man vergleicht ihre Antworten mit den nun hinter „show“ stehenden Lösungen und freut sich a. über das schon Gewusste oder b. über das neu Gelernte.
Also: The „show“ must go on.