Wellers virtuelle Mathematik-Schule

Realmath! Lineare Gleichungssysteme und grafische Lösungsverfahren

Wilhelm Weller — Tue, 14 May 2013 14:57:21 +0000

Über die ausgezeichnete Mathematik-Website realmath.de von Andreas Meier wurde hier schon mehrfach berichtet.
Die Website gedeiht prächtig weiter, inzwischen gibt es auch eine englische Version.
Es lohnt auch sehr, Meier auf Twitter zu folgend. Dort kündigt er fortgesetzt neue interaktive Arbeitsblätter an.

Ein Klassiker ist etwa sein Geogebra-Arbeitsblatt zu linearen Gleichungssystemen und den korrespondierenden grafischen Lösungsverfahren.
Dort muss für die jeweilige lineare Gleichung, eine in blau, die andere in grün, zunächst die richtige Gerade im Koordinatensystem angelegt werden.
Zwei auf den Geraden liegende bewegliche Punkte (A und B, bzw. C und D ) werden so verschoben, dass die neue Gerade dann in Steigung und Achsenabschnitt mit den in der Gleichung gegebenen Parametern m und t übereinstimmt.
Die Koordinaten des Schnittpunkts S (x | y) sind bekanntlich die Lösungen des Gleichungssystems. Ob die Zeichnung korrekt war, lässt sich durch Anklicken eines Buttons prüfen. Auf gleiche Weise lässt sich eine neue Aufgabe generieren.
Natürlich sollte das Gleichunssystem parallel auch rechnerisch gelöst werden, etwa mit dem Additionsverfahren. Auch hierfür gibt es auf realmath.de ein Arbeitsblatt , das für die weitere Umformung Vorschläge anbietet.

Die wandernde Wendetangente: Geogebra-Applet veranschaulicht Ortskurve einer Funktionsschar

Wilhelm Weller — Wed, 01 May 2013 13:16:36 +0000

Scharen sind was Schönes. Meistens. Vogelscharen zum Beispiel. Es gibt Filme, die deren Zauber vermitteln (Nomaden der Lüfte, Amy und die Wildgänse). Mitunter erschrecken sie auch, jedenfalls Hitchcock (vor 45 Jahren).
Funktionsscharen bzw. Kurvenscharen (denen angeblich kein Leben eingehaucht wurde) sind normalerweise schön und harmlos. Es sei denn, ein fauler und an der Ästhetik der Mathematik desinteressierter Schüler wird hierüber geprüft.
Das Bild zeigt ausschnittsweise den (roten) Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades.
Man sieht die beiden Extrema, ein Minimum bei x = 0 und ein Maximum bei x = 4.
Der Graph geht bei bei der Wendestelle x = 2 von einer Links- in eine Rechtskurve über.
Die durch W verlaufende (Wende-) Tangente ist gestrichelt eingetragen.
Was verbirgt sich hinter der blauen Kurve? Das erschließt sich erst mit einem Geogebra-Applet, das durch Klick auf das Bild aktiviert wird.
Wird dann der (im Moment auf den Parameter a = 1 fixierte) Schieberegler betätigt, verändert sich die rote Kurve. Die neuen Wendepunkte der neuen Kurve wandern entlang der blauen “Ortskurve”. Auf ihr liegen nämlich die Wendepunkte sämtlicher Kurven der Funktionsschar. Auch die Wendetangente wandert natürlich mit.
Es lohnt sich, via rechter Maustaste im Kontextmenü weitere Optionen zu nutzen. So kann man sich die jeweiligen Funktionsgleichungen anschauen.
Für die rote Kurve kann auch “Spur an” gewählt werden, so dass durch Betätigung des Schiebereglers jenes ästhetische (Schar-) Bild erzeugt wird, von dem anfangs die Rede war.

Das Galton-Brett und die Gaußsche Normalverteilung

Wilhelm Weller — Wed, 10 Apr 2013 09:59:08 +0000

Kaum zu glauben, was sich hinter der schlichten Appartur des Galtonbretts an mathematischer Theorie versteckt: Der zentrale Grenzwertsatz.

Er wird mit der Galtonbrett-Simulation veranschaulicht.

Der Cornelsen-Verlag bietet auf seiner Website eine didaktisch gut gemachte Einführung zu diesem Thema.

Auch gebrochen-rationale Funktionen gibt es scharweise – Noch ein GeoGebra-Applet

Wilhelm Weller — Thu, 04 Apr 2013 22:04:30 +0000

So sieht ein kleiner Ausschnitt des/der Graphen gebrochen-rationaler Funktionen aus.
Im Zähler des Funktionsterms hat man ein allgemeines Polynom vom Grad 2, im Nenner steht ebenfalls ein quadratisches Polynom, jedoch steckt dort in den Koeffizienten noch der Parameter k.

Setzt man k = 2 erhält man den rot gezeichneten Graphen, der in zwei Hyperbeläste zerfällt, separiert durch eine vertikale Asymptote an der Unendlichkeitsstelle x = -2.
Setzt man k = 4 erhält man den blau gezeichneten Graphen, der an der Unendlichkeitsstelle x = -4 in zwei Äste zerfällt.
k = 2 und eine Asymptote bei x = -2
k = 4 und eine Asymptote bei x = -4. Ist das Zufall, oder steckt dahinter System?

Natürlich letzteres. Man findet schnell heraus, dass das Zählerpolynom Nullstellen bei x = 3 und bei x = -5 hat und daher in die Linearfaktoren (x -3) und (x + 5) zerlegbar ist.
Ebenso ergibt sich, dass das Nennerpolynom Nullstellen bei
x = 3 und bei x = -k hat und entsprechend in die Linearfaktoren
(x – 3) und (x + k) zerlegbar ist.
Damit lässt sich die Funktion in einer Form darstellen, wie sie dem mathematischen Anatom gefällt. Er sieht, wo sie hält und wie sie fällt. Gewissermaßen ihr Skelett:

Bei x = -k wird der Nenner 0. Die Definitionslücke bei x = -k ist offenkundig auch nicht behebbar, was die Funktion an dieser Stelle zwangsläufig in das Unendliche driften lässt.
Auch bei x = 3 wird der Nenner Null. Hier liegt aber keine Unendlichkeitsstelle vor. Die Definitionslücke ist behebbar, da der zugehörige Linearfaktor (x+3) im Nenner und im Zähler vorkommt und daher komplett kürzbar ist.
Nach dem Kürzen hat man eine neue Funktion mit dem Term (x+5)/(x+k), die an der Stelle x = 3 auch definiert ist. Sie hat dort den Wert 8/(k+3).
Mit diesem Wert lässt sich die Lücke der ursprünglichen Funktion – deren Graph bei x = 3 ein “Loch” hat – beheben.
Was geschieht eigentlich bei k = 5? Dann lässt sich der ursprüngliche Funktionsterm komplett kürzen, übrig bleibt f(x) = 1. Der zugehörige Graph ist die parallel zur x-Achse verlaufende Gerade y = 2 (die bei den Definitionslücken x = 3 und x = -5 ein “Loch” hat).
Sonst liegt bei x = -5 wegen des nur im Zähler vorkommenden Linearfaktors (x + 5) immer eine reguläre Nullstelle der Funktion vor.
Kein Wunder also, dass sich in unserem Bild die blaue und die rote Kurve an der (Null-) Stelle x = – 5 schneiden.

Unter netalive.org gibt es übrigens ein vorzügliches “Digitales Lehrbuch” über Rationale Funktionen. Verfasst wurde es von Henning Koch im Rahmen einer Facharbeit. Es richtet sich an Gymnasiasten der 11. Jahrgangsstufe.

Extrema mit Geogebra: Wenn ein Zylinder unter einem Kegel groß herauskommen will

Wilhelm Weller — Thu, 14 Mar 2013 22:16:16 +0000

Geogebra kann auch Optimierungsprobleme aus der Differenzialrechnung visualisieren.
Das eingeblendete Bild zeigt den Querschnitt eines geraden Kreiskegels, in den ein möglichst großer Kreiszylinder eingefügt werden soll.
Abhängig vom Radius r erhält man unterschiedliche Volumina, die durch die blaue Kurve angezeigt werden.
Man erkennt, dass das Zylindervolumen beim Radius r = 1 maximal wird – die blaue Kurve besitzt hier einen Scheitelpunkt bzw. einen Hochpunkt.
Im Geogebra-Applet, das mit Klick auf die Grafik aufgerufen wird, kann der Punkt Q entlang der x-Achse verschoben werden.
Man sieht, wie sich in diesem Fall die Höhe des Zylinders und dessen Volumen verändern.

Geogebra: Scheitelkurve einer Parabelschar

Wilhelm Weller — Fri, 22 Feb 2013 19:58:44 +0000

Mit der kostenlosen Software Geogebra von Markus Hohenwarter lassen sich zahllose mathematische Aufgabenstellungen lösen und eindrucksvoll darstellen.
Hier wird gezeigt, wie sich die Scheitelpunkte einer Parabelschar entlang einer (roten) Kurve bewegen, die der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion ist.
Die Parabelschar ist durch folgende Funktionsgleichung definiert:
f_a(x) = ax² + (1 – 2a)x.

Die Scheitelkurve G_s hat diese Funktionsgleichung:
s(x) = 0.5x + 0.5 – 1/(2 – 2x).

Achtung: Sie müssen diese Grafik anklicken, um das dann etwas verzögert aufgerufene Geogebra-Applet (es erfordert Java !) auch ausführen zu können. Alternativ lässt sich auch das Kontextmenü bzw. die linke Maustaste zum Öffnen nutzen.
Dem Parameter a können im Geogebra-Applet über den Schieberegler verschiedene Werte zwischen -5 und +5 zugewiesen werden. Bewegt man (bei gedrückter linker Maustaste oder mit den Pfeiltasten) den schwarzen Punkt auf diesem Schieberegler, nimmt die Parabel jeweils andere Formen an. (Achtung: Bei a = 0 wird aus der Parabel eine Gerade, genauer: Die Winkelhalbierende des 1. Quadranten.)
Bei negativem a ist die Parabel (erwartungsgemäß) nach unten geöffnet, bei positivem a nach oben. Stets verläuft sie durch den Ursprung sowie den Punkt (2|2). Diese beiden “Fixpunkte” bilden gewissermaßen das Gerüst bzw. die Klammer der Kurvenschar.
Die Scheitelpunkte liegen stets auf den Ästen der Hyperbel, die durch die gebrochen-rationale Funktion s(x) definiert wird.

Wie man diese Scheitelkurve (“Trägergraph aller Scheitelpunkte”) ermittelt, demonstriert Wolfgang Appell an gleich 3 Aufgaben auf seiner ausgesprochen lesenswerten Website: Parabellissima.

Quiz zum Thema Quadratische Funktionen und Parabelscharen

Wilhelm Weller — Thu, 07 Feb 2013 20:38:15 +0000

Was hat die “Mitternachtsformel” mit Parabeln zu tun?
show
Sie liefert – falls existent – deren Nullstellen.
Wie gewinnt man aus der Normalform einer Parabelgleichung die Scheitelpunktform – und umgekehrt?
show
Durch quadratische Ergänzung. Umgekehrt lässt sich aus der Scheitelpunktform y = a·(x – x_s)² + y_s durch einfache Termumformung (Quadrieren, Multiplizieren, Addieren) die Normalform herleiten.
Der Funktionsterm der quadratischen Funktion lautet ax² + bx + c. Was läßt sich aus den Koeffizienten a und c (insbesondere aus deren Vorzeichen) ablesen?
Für die x-Koordinate eines (Parabel-) Scheitelpunktes gilt: x_S = -b/2a.
Wie läßt sich diese Formel beweisen?
In welcher Beziehung stehen die Koordinaten des Scheitelpunktes mit den (eventuellen) Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Ist eine auf ganz R definierte quadratische Funktion umkehrbar?
Welche Art von Beschränktheit kann bei einer quadratischen Funktion vorliegen und welche nicht?
Wie läßt sich – falls existent – das Supremum bzw. das Infimum einer quadratischen Funktion bestimmen?
Eine Parabel ist stets achsensymmetrisch. Wie bestimmt man rechnerisch die Gleichung der Symmetrieachse?
Wie nennt man eine Funktion, deren Graph
a) achsensymmetrisch zur y-Achse ist
b) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
Wie läßt sich bei gegebener (quadratischer) Funktionsgleichung die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt (x₀| f(x₀)) errechnen – und zwar ohne Differentialrechnung?
Wie läßt sich die Scheitelkurve einer Parabelschar rechnerisch bestimmen?
Gegeben sind 3 Punkte A, B und C mitsamt ihrer Koordinaten. Wie bestimmt man daraus die durch die Punkte festgelegte Parabel bzw. deren Funktionsgleichung?
Was läßt sich über die Parabel(n) sagen, die nur durch zwei Punkte festgelegt sind?
Wie viele Schnittpunkte können 2 Parabeln besitzen und wie lassen sich diese rechnerisch bestimmen?
Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel und eine Gerade besitzen und wie lassen sich diese rechnerisch bestimmen?
Wie ist eine ganzrationale Funktion definiert?

Quiz zum Thema Lineare Funktionen, Geradengleichungen und Geradenscharen

Wilhelm Weller — Sat, 15 Dec 2012 09:33:46 +0000

Wie ist eine lineare Funktion eigentlich definiert? (Funktionsterm?)
show
Nennen wir gleich die komplette Funktionsgleichung: f(x) = mx + t
Wie sind die Parameter m und t im Funktionsterm zu interpretieren?
show
Der Funktionsgraph ist eine Gerade. m gibt deren Steigung an und t ihren y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die y-Achse von ihr geschnitten wird.
Wie verläuft (allgemein) eine Gerade mit der Steigung –0,5?
show
Sie fällt und zwar im Verhältnis 1 zu 2 (Ein Schritt nach unten, zwei Schritte nach rechts)
Lässt sich aus einem einzigen Punkt einer Gerade die zugehörige Geradengleichung bestimmen?
show
Nein. Eine Gerade ist erst durch 2 Punkte festgelegt.
Meint ‘Geradengleichung’ und ‘Funktionsgleichung einer linearen Funktion’ dasselbe – oder gibt es einen (kleinen) Unterschied?
show
Fast. So ist x = c eine Geradengleichung, aber keine Funktionsgleichung. Die Gerade verläuft parallel zur y-Achse und kann damit kein Funktionsgraph sein. Warum eigentlich?
Was versteht man unter einer expliziten und einer impliziten Geradengleichung?
show
Die explizite ist nach y aufgelöst, die implizite nicht. Ihre Form : ax + by = c.
Wie ist der Neigungswinkel einer Gerade definiert?
show
Der spitze Schnittwinkel mit der x-Achse, der positiv oder negativ sein kann. (Es gibt aber auch andere Definitionen.)
Lässt sich der Neigungswinkel allein schon aus der Steigung der Geraden ermitteln? Wie?
show
Ja. Der Neigungswinkel α ergibt sich als Arcustangens der Steigung m: α = tan ^-1(m).
Wie errechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden und wie den Schnittwinkel?
show
Setzt man die zugehörigen Funktionsterme f(x) und g(x) gleich und löst die Gleichung nach x auf, erhält man die x-Koordinate des Schnittpunkts. Durch Einsetzen des x-Wertes in f(x) oder g(x) erhält man die y-Koordinate.
Den Schnittwinkel erhält man durch Subtraktion der Neigungswinkel beider Geraden. Es gibt aber auch eine nette Formel.
Was muss für die Funktionsterme zweier linearer Funktionen gelten, damit ihre Funktionsgraphen keinen Schnittpunkt besitzen?
show
Der Steigungsparameter m muss auf jeden Fall übereinstimmen. Dann sind die zugehörigen Geraden nämlich parallel.
In welchem speziellen Fall ist der Neigungswinkel einer Gerade 0° und wann 90°?
show
0°, falls die Gerade parallel zur x-Achse ist, also bei m = 0. Wenn die Gerade orthogonal zur x-Achse ist (bzw. parallel zur y-Achse), ist der Neigungswinkel 90°.
Was gilt für die Steigungen m₁ und m₂ zweier zueinander orthogonaler Geraden?
show
Ihr Produkt ergibt gerade -1. Als Gleichung: m₁ × m₂ = -1
Wie gewinnt man aus einer gegebenen Geradensteigung die Steigung einer dazu senkrechten Gerade?
show
Sie ist das negativ Reziproke der Ursprungssteigung. Als Gleichung: m₂ = -1/m₁
Wie gewinnt man die Gleichung des Lotes aus der Gleichung der (ursprünglichen) Gerade und einem Punkt P?
show
Die Steigung des Lotes m_L ergibt sich (s.o.) unmittelbar aus der Steigung der Gerade: m_L = -1/m. (Die Steigung m war durch die Geradengleichung gegeben.)
Setzt man nun noch die Koordinaten des Punktes P(x_P|y_P) in die Gleichung y = m_Ly + t ein, erhält man t, den noch fehlenden y-Achsenabschnitt der Lotgerade.
Wie errechnet man – bei gegebener Geradengleichung und gegebenem Punkt P – den Fußpunkt des Lotes?
show
Als Schnittpunkt der Gerade und des Lotes. (Wie man den Schnittpunkt zweier durch ihre Gleichungen gegebenen Geraden bestimmt, war schon zuvor beantwortet worden.
Wie ermittelt man bei gegebenen zwei Punkten P und Q die zugehörige Gerade bzw. die zugehörige Geradengleichung?
show

Setzt man die Koordinaten der Punkte P(x_P|y_P) und Q(x_Q|y_Q) in die explizite Geradengleichung y = mx + t ein, erhält man zwei lineare Gleichung mit den Unbekannten m und t. Dieses lineare Gleichungssystem (LGS) lässt sich dann leicht nach m und t auflösen.
Was versteht man unter einer Geradenschar und was unter einem Geradenbüschel?
show
Eine Geradenschar ist eine Schar von Geraden (aha!), genauer: eine Menge von Geraden (im Koordinatensystem), die “etwas gemeinsam” haben. Eine spezielle Geradenschar ist ein Geradenbüschel, hier schneiden sich alle Geraden in einem bestimmten Punkt. Verantwortlich für das Gemeinsame der Geraden in einer Schar ist ein Parameter (oft a oder k genannt) im Funktionsterm der linearen Funktion. (Übrigens: Auch m und t sind Parameter).
Nenne einen Funktionsterm, der eine Geradenschar festgelegt.
show
Wir nennen gleich eine komplette Funktionsgleichung: y = ax + 3 – a²
Gegeben ist eine Geradenschar – also der Funktionsterm einer linearen Funktion mit einem Parameter k – und gegeben ist ein Punkt P(x₁,y₁).
Wie errechnet man ein k so, dass die Gerade g_k den Punkt P enthält?
show
Man setzt die Koordinaten x₁ und y₁ in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein und löst sie dann nach k auf – das ist dann nämlich die einzige verbliebene Unbekannte in der linearen Gleichung.
Wie kann man bei einem Geradenbüschel (mit gegebenem Funktionsterm inkl. Parameter k) den gemeinsamen Schnittpunkt P errechnen?
show
Wenn man schon weiß, dass es sich um ein Geradenbüschel handelt, dass also alle Geraden durch einen Punkt gehen, genügt es, zwei spezielle Geraden zu nehmen – etwa die durch k = 0 und k = 1 definierten, und dann (s.o.) deren Schnittpunkt zu bestimmen.
Wenn man das noch nicht weiß, kann man für zwei verschiedene Parameter, etwa mit k und l benannt, die entsprechenden Funktionsterme gleichsetzen und sie (wenn möglich) nach x auflösen: f_k(x) = f_l(x)

Christina und Sergej beantworten nun in einer Podcastepisode diese Fragen – nicht vollständig und nicht immer zutreffend, aber sehr unterhaltsam!
Am Besten, man vergleicht ihre Antworten mit den nun hinter “show” stehenden Lösungen und freut sich a. über das schon Gewusste oder b. über das neu Gelernte.
Also: The “show” must go on.

Fragestunde zu linearen Funktionen

Wilhelm Weller — Sat, 10 Nov 2012 15:39:29 +0000

Wie lautet der Funktionsterm einer linearen Funktion? show
f(x) = m·x + t
Was lässt sich über den Funktionsgraphen sagen?show
Der Graph ist eine Gerade.
Ist jede im Koordinatensystem verlaufende Gerade Graph einer linearen Funktion?show
Nein. Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, können nicht Graph einer Funktion sein.
Warum?show
Eine funktionale Zuordnung ist ein-eindeutig. Jedem x wird genau ein y zugeordnet.
Wofür steht im Funktionsterm m?show
m ist die Steigung der Geraden
Wofür steht t?show
Für den y-Achsensabschnitt. Bildlich gesprochen: Für die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse durchbricht.
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist eine Geradengleichung: y = m·x + t. Ist umgekehrt jede Geradengleichung auch die Gleichung einer linearen Funktion?show
Nein. Auch x = 5 (oder x = -3) ist eine Geradengleichung bzw. kann als solche aufgefasst werden.

Habt acht! Es naht der BMT

Wilhelm Weller — Thu, 13 Sep 2012 19:33:03 +0000

… und dies schon zu Beginn des neuen Schuljahres – am 25. September 2012.

Das Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München, kurz ISB, bietet auf seiner Website die gesammelten (gymnasialen) Jahrgangsstufenarbeiten im Fach Mathematik aus den Jahren 2004 bis 2011 zum Download an – inklusive kurzer Lösungshinweise. Auf wiki.zum.de gibt es zum BMT 8 / 2011 auch kommentierte Lösungen.

Inzwischen sind auch die Aufgaben des BMT 8 / 2012 (Gruppe A und Gruppe B) online (inkl. Lösungshinweisen.)

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