Wenn alles strahlt, sogar die Sätze …

wie in diesem etwas zu sehr auf cool getrimmten Video über die Strahlensätze. Dennoch ist es didaktisch gut gemacht.  Die aufdringliche Werbung zu Beginn und am Ende sollte man überhören.

 

 

Sympathischer klingt die weibliche Stimme, die die Strahlensätze (intercept theorems)  farbenfröhlich präsentiert. Wer allerdings farbenblind ist, wird nur „verstrahlt“ und versteht nichts:

 

 

Hergeleitet werden die Sätze auf realmath.de  (aus den Eigenschaften der zentrischen Streckungen). Auch Übungen gibt es dort, für Variante 1 und Variante 2.

In etwas abstrakterer Form können die Sätze auf zum.de eingeübt werden: 12345

Lektionen im Web

Wer erklärt etwas besser, geduldiger, anschaulicher? Heute haben Schüler die Chance, im Web aus einer gewaltigen Angebotsfülle das für sie Beste auszuwählen.
Die Videos, die Tobias Gnad auf YouTube bereitstellt, sollten dann zur engeren Wahl gehören.
Hier als Kostprobe, was er über Bruchterme und die Bestimmung eines Hauptnenners zu sagen hat:

Und hier noch die Fortsetzung über Bruchgleichungen und deren Lösung:

Gnad betreibt auf YouTube einen Kanal, auf dem er über 100 Videos bereitstellt. Aktuell hat er 3500 Abonnenten.
Dafür hat er hart und lange gearbeitet. Sein einführendes Video über Bruchterme hat er bereits vor fünf Jahren auf YouTube hochgeladen. Es wurde fast 50 000 mal aufgerufen.
(Sein Video zu den Potenzgesetzen ist ebenso alt, wurde aber seltener angesehen. Eine gute Alternative und 45 Minuten lang ist dieses Video – ebenfalls zu den Potenzgesetzen. Es richtet sich allerdings eher an die „höheren Semester“. Ohne Video werden auf mathematik-wissen.de Potenzrechnung bzw. Potenzgesetze dargestellt.
Üben lässt sich das auf realmathe.de: Der Potenzbegriff ganz allgemein, Multiplikation und Division von Potenzen – und deren nochmaliges Potenzieren.
Außerdem die Zehnerpotenzen und deren Vergleich. Variable Übungen dienen zum Anwenden aller Potenzgesetze. )

Auch auf Google+ ist er präsent, dort empfiehlt er sogar Konkurrenten.

Zuletzt einen Schüler, der für Schüler unter mathe-onlinelernen.de gut gelungene Minilektionen gibt.
Dem angehenden Dozenten, der darlegt, wie einfache (lineare) Gleichungen gelöst werden, steht noch der Stimmbruch bevor.

Vom Funktionsterm zum Graphen: Geogebra und WolframAlpha im gemeinsamen Einsatz

Lässt sich innerhalb eines mit WordPress betriebenen Blogs eine einfache schulmathematische Rechnung vorführen?
Ja, es geht – mit Stift und Papier geht es allerdings nach wie vor weit schneller.
Auf Papier lässt sich aber weder die vorzügliche Mathematiksoftware Geogebra einsetzen und vorführen, noch WolframAlpha, das eine universelle „computational knowledge engine“ sein will. Auf Deutsch: Eine (fast alles) errechnende Wissensmaschine.
Ich habe für diesen Beitrag alle drei (kostenlosen) „Komponenten“ verwendet: Der kleine Ausschnitt des Koordinatensystems wurde aus Geogebra heraus erzeugt, die Tabelle unten wurde mit EditGrid errechnet und mit WolframAlpha (siehe links) wird der zugehörige Graph erzeugt.
Für die Darstellung der in diesem Fall noch recht einfachen mathematischen Formelsprache habe ich das WordPress-Plugin QuickLaTeX und gleichzeitig den LaTeX Equation Editor verwendet.

Man kann kulturpessimistisch schimpfen, dass Schülern etwa mit WolframAlpha auch noch der letzte Anreiz genommen wird, selbst zu rechnen.
Ich glaube es nicht. Eher erwarte ich, dass zumindest bei einem Teil der Schüler Interesse, vielleicht sogar Faszination geweckt werden kann. Von einer so leicht erzeugbaren Visualisierung mathematischer Sachverhalte konnten Mathematiklehrer in der Vergangenheit jedenfalls nur träumen.

Das oben links eingesetzte WolframAlpha „Widget“ ist nur eines aus einer großen und wachsenden ‚Galerie‚ entsprechender Werkzeuge – nicht nur für Mathematik, sondern u.a. auch für Physik, Astronomie, Geografie, Wirtschaft und weitere Wissensgebiete.

Nun aber zur Musterlösung einer einfachen Ausgabe aus einem Schulbuch für die gymnasiale Jahrgangsstufe 8. Die war im Original übrigens fehlerhaft gestellt, sie wurde hier korrigiert und erlaubt somit eine vernünftige Lösung.

Für die durch einen Funktionsterm festgelegte Funktion r soll ein Graph gezeichnet werden – und zwar für -4 < x < 4. Wann sind die Funktionswerte größer null, was ist die maximale Definitionsmenge?

[latex] r: x \mapsto \frac{1}{4}x -\frac{1}{2}(0,5x + 2x^{2})- (-2^{3}+x^{2}) [/latex]

1. Schritt: Der (Funktions-) Term r(x) wird vereinfacht:

[latex] r(x)= \frac{1}{4}x – \frac{1}{4} x – x^{2}-(-8+x^{2}) [/latex]

und weiter:

[latex] r(x) = – x^{2} +8 – x^{2} = -2 x^{2} +8 [/latex]

2. Schritt:

Nun sollte zu diesem durch Äquivalenzumformung vereinfachten Term durch eigene Rechnung eine Wertetabelle erstellt werden.

Die 9 Wertepaare legen 9 Punkte im Koordinatensystem fest.

Der höchstgelegene Punkt ist offenbar S (0|8). Man sieht auch, dass nur für x-Werte größer als -2 und kleiner als +2 die zugeordneten Punkte oberhalb der x-Achse liegen – da die Funktionswerte r(x) hier alle positiv sind.
Trägt man diese 9 Punkte im Koordinatensystem ein, lässt sich der weitere Kurvenverlauf bereits erahnen. Die Kurve weist nirgendwo Lücken auf. Die Funktion ist für jedes beliebige rationale x definiert.

3. Schritt:

Der mit WolframAlpha erzeugte Graph Gr (eine nach unten geöffnete Parabel) zeigt ein vollständigeres Bild.
[Man muss im Eingabefeld statt dem voreingestellten sin(x) den Term -2x^2+8 eingeben. Auch die untere und obere Grenze des Zahlenbereichs sollte korrigiert werden.]

Laplace-Wahrscheinlichkeit: Alles nur gewürfelt

In gerade einmal 32 Minuten werden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in einem YouTube-Video von Frank Schumann abgehandelt. Er macht das sehr bedächtig.

Spielerischer geht es auf realmath.de zu. Dort gibt es zur Stochastik diverse kleine Übungen:

Ein einmaliger Wurf

Absolute und relative Häufigkeit

Wahrscheinlichkeiten beim Roulette

Laplace-Wahrscheinlichkeite (Glückskreisel)

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Würfeln mit einem manipulierten Würfel

Zweistufiges Laplacexperiment

Die Mathematik-Fachschaft des Münchner Wilhelm-Hausenstein-Gymnasiums stellt unter der Adresse
mathe-oli.de Online-Lernmaterial zur Intensivierung bereit.
Im pdf-Format gibt es dort eine kleine Aufgabensammlung zum Zählprinzip Teil 1 und Teil 2
Auch die Lösungen werden als pdf (Teil 1 und Teil 2) bereitgestellt.
Hilfestellungen zu diesem Thema finden sich u.a. auf der Website Mathebibel.de: Das allgemeine Zählprinzip

Weitere Musterlösungen (nach Eingabe eines kleingeschriebenen weiblichen Gymnasialnamens): [password] hier [/password]

Lineare Gleichungssysteme: LGS im WWW

Das Wachstum des World Wide Web im Ganzen und ebenso das Wachstum themenspezifischer Ressourcen im Web dürfte nicht linear sondern exponentiell verlaufen. Das gilt auch für die Mathematik und im Besonderen für das Thema Lineare Gleichungssysteme.
Man entdeckt ständig neue Materialien.

Einige gute Adressen sollen hier vorgestellt werden. Einen anspruchsvollen Überblick bietet natürlich die Wikipedia. Schüler allerdings dürften bei diesem Artikel überfordert sein.
Der noch besser ausgearbeitete englischsprachige Artikel liefert mit schönen Graphiken auch eine geometrische Interpretation (Schnitt von Geraden bzw. Ebenen).

Kompatibel mit schulischem Niveau sind dagegen drei Videos ( 123) von Andreas Meier auf realmath.de. Er demonstriert dort das Additionsverfahren.
Gut sind auch die von ihm bereitgestellten Multiple-Choice-Übungen.

Für weniger ehrgeizige Schüler dürfte sich vor allem der „Schulminator“ anbieten. Dort kann man lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen automatisch lösen lassen. Das Additionsverfahren wird zudem mit fünf Übungsaufgaben (pdf) demonstriert – Schritt für Schritt.
Alle drei gängigen Lösungsverfahren stellt Ina de Brabandt vor, anspruchsvoller und bereits auf die Oberstufe zielend: Das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das in Theorie und Praxis besonders wichtige Additionsverfahren.
Auch hier (pdf) werden die jeweiligen Verfahren an Beispielen demonstriert, zudem werden die drei Lösungsvarianten graphisch dargestellt: Keine Lösung – Eine Lösung – Unendlich viele Lösungen.
Weitere Musterlösungen (nach Eingabe eines kleingeschriebenen weiblichen Gymnasialnamens): [password] hier [/password]

Gut sind schließlich auch die Videos des Münchner Mathematiklehrers Rainer Ammel (mathegym.de).